関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。 (3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。
2025/7/9
1. 問題の内容
関数 に対して、以下の問題を解く。
(1) 曲線 上の点 における接線の方程式を求める。
(2) 関数 の極値を求める。
(3) 閉区間 における の最大値および最小値を求める。
2. 解き方の手順
(1) 接線の方程式を求める。
まず、 を計算する。
次に、 を計算する。
積の微分公式より、
点 における接線の傾きは である。
よって、接線の方程式は
(2) 関数 の極値を求める。
となる を求める。 は常に正なので、 を解く。
より
より
の符号を調べる。
のとき、
のとき、
のとき、
の前後で の符号は変わらないので、 で極値を取らない。
の前後で の符号は正から負に変わるので、 で極大値を取る。
したがって、 は で極大値 をとる。
(3) 閉区間 における の最大値および最小値を求める。
(極大値)
また、 は区間 に含まれるが、 の符号が変わらないので、 は極値ではない。
したがって、区間 における最大値は 、最小値は である。
3. 最終的な答え
(1) 接線の方程式:
(2) 極値: で極大値
(3) 最大値: , 最小値: