関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。 (3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。

(3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

まず、$f(-1)$ を計算する。

$f(-1) = (-1)^3 e^{-(-1)} = -e$

次に、$f'(x)$ を計算する。

積の微分公式より、

$f'(x) = (x^3)' e^{-x} + x^3 (e^{-x})' = 3x^2 e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = (3x^2 - x^3) e^{-x} = x^2(3-x) e^{-x}$

点 $(-1, -e)$ における接線の傾きは $f'(-1)$ である。

$f'(-1) = (-1)^2 (3 - (-1)) e^{-(-1)} = 1 \cdot (3 + 1) e = 4e$

よって、接線の方程式は

$y - (-e) = 4e (x - (-1))$

$y + e = 4e (x + 1)$

$y = 4ex + 4e - e$

$y = 4ex + 3e$

(2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = x^2 (3 - x) e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-x}$ は常に正なので、$x^2 (3 - x) = 0$ を解く。

$x^2 = 0$ より $x = 0$

$3 - x = 0$ より $x = 3$

$f'(x)$ の符号を調べる。

$x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

$0 < x < 3$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) < 0$

$x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号は変わらないので、$x = 0$ で極値を取らない。

$x = 3$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負に変わるので、$x = 3$ で極大値を取る。

$f(3) = 3^3 e^{-3} = 27 e^{-3} = \frac{27}{e^3}$

したがって、$f(x)$ は $x=3$ で極大値 $\frac{27}{e^3}$ をとる。

(3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

$f(-1) = -e$

$f(3) = \frac{27}{e^3}$ (極大値)

$f(4) = 4^3 e^{-4} = 64 e^{-4} = \frac{64}{e^4}$

また、$x = 0$ は区間 $[-1,4]$ に含まれるが、$f'(x)$ の符号が変わらないので、$f(0)$ は極値ではない。

$f(0) = 0^3 e^{-0} = 0$

$-e \approx -2.718$

$\frac{27}{e^3} \approx \frac{27}{20.086} \approx 1.344$

$\frac{64}{e^4} \approx \frac{64}{54.598} \approx 1.172$

したがって、区間 $[-1, 4]$ における最大値は $\frac{27}{e^3}$、最小値は $-e$ である。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = 4ex + 3e$

(2) 極値: $x=3$ で極大値 $\frac{27}{e^3}$

(3) 最大値: $\frac{27}{e^3}$, 最小値: $-e$