与えられた4つの関数について、極値を求める問題です。具体的には、以下の関数について極値を求めます。 (1) $f(x) = x^4 - 2x^3 + 1$ (2) $f(x) = x^2e^{-x}$ (3) $f(x) = x\log x$ (4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$
2025/7/9
1. 問題の内容
与えられた4つの関数について、極値を求める問題です。具体的には、以下の関数について極値を求めます。
(1)
(2)
(3)
(4)
2. 解き方の手順
各関数について、以下の手順で極値を求めます。
1. 導関数 $f'(x)$ を求める。
2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める(臨界点)。
3. $f''(x)$ を求める。
4. 臨界点における $f''(x)$ の符号を調べる。
* ならば、その点で極小値をとる。
* ならば、その点で極大値をとる。
* の場合は、さらに高階の微分を調べる必要がある。
5. 極値を与える $x$ を元の関数 $f(x)$ に代入して、極値を計算する。
(1)
となるのは、 または
(では極値を持たない)
で極小値をとる。
(2)
となるのは、 または
で極小値をとる。
で極大値をとる。
(3)
定義域は 。
となるのは、 つまり
で極小値をとる。
(4)
となるのは、 つまり
で極小値をとる。
で極大値をとる。
3. 最終的な答え
(1) で極小値
(2) で極小値 , で極大値
(3) で極小値
(4) で極小値 , で極大値