与えられた4つの関数について、極値を求める問題です。具体的には、以下の関数について極値を求めます。 (1) $f(x) = x^4 - 2x^3 + 1$ (2) $f(x) = x^2e^{-x}$ (3) $f(x) = x\log x$ (4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、極値を求める問題です。具体的には、以下の関数について極値を求めます。

(1) $f(x) = x^4 - 2x^3 + 1$

(2) $f(x) = x^2e^{-x}$

(3) $f(x) = x\log x$

(4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

1. 導関数 $f'(x)$ を求める。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める（臨界点）。

3. $f''(x)$ を求める。

4. 臨界点における $f''(x)$ の符号を調べる。

* $f''(x) > 0$ ならば、その点で極小値をとる。

* $f''(x) < 0$ ならば、その点で極大値をとる。

* $f''(x) = 0$ の場合は、さらに高階の微分を調べる必要がある。

5. 極値を与える $x$ を元の関数 $f(x)$ に代入して、極値を計算する。

(1) $f(x) = x^4 - 2x^3 + 1$

$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = \frac{3}{2}$

$f''(x) = 12x^2 - 12x$

$f''(0) = 0$ ($x=0$では極値を持たない)

$f''(\frac{3}{2}) = 12(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) = 12(\frac{9}{4}) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$

$x = \frac{3}{2}$ で極小値をとる。

$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^4 - 2(\frac{3}{2})^3 + 1 = \frac{81}{16} - 2(\frac{27}{8}) + 1 = \frac{81}{16} - \frac{108}{8} + 1 = \frac{81 - 216 + 16}{16} = \frac{-119}{16}$

(2) $f(x) = x^2e^{-x}$

$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$

$f''(x) = e^{-x}(2 - 2x) - e^{-x}(2x - x^2) = e^{-x}(2 - 4x + x^2)$

$f''(0) = e^0(2 - 0 + 0) = 2 > 0$

$f''(2) = e^{-2}(2 - 8 + 4) = -2e^{-2} < 0$

$x = 0$ で極小値をとる。$f(0) = 0$

$x = 2$ で極大値をとる。$f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

(3) $f(x) = x\log x$

定義域は $x > 0$。

$f'(x) = \log x + x(\frac{1}{x}) = \log x + 1$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\log x = -1$ つまり $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f''(x) = \frac{1}{x}$

$f''(\frac{1}{e}) = e > 0$

$x = \frac{1}{e}$ で極小値をとる。

$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}\log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}(-\log e) = -\frac{1}{e}$

(4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

$f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^2 = 2$ つまり $x = \pm\sqrt{2}$

$f''(x) = \frac{4}{x^3}$

$f''(\sqrt{2}) = \frac{4}{(\sqrt{2})^3} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$

$f''(-\sqrt{2}) = \frac{4}{(-\sqrt{2})^3} = -\frac{4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0$

$x = \sqrt{2}$ で極小値をとる。 $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ で極大値をとる。 $f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3}{2}$ で極小値 $-\frac{119}{16}$

(2) $x = 0$ で極小値 $0$, $x = 2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$

(3) $x = \frac{1}{e}$ で極小値 $-\frac{1}{e}$

(4) $x = \sqrt{2}$ で極小値 $2\sqrt{2}$, $x = -\sqrt{2}$ で極大値 $-2\sqrt{2}$