与えられた4つの関数について、極値を求める問題です。具体的には、以下の関数について極値を求めます。 (1) $f(x) = x^4 - 2x^3 + 1$ (2) $f(x) = x^2e^{-x}$ (3) $f(x) = x\log x$ (4) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

解析学極値微分導関数増減表
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、極値を求める問題です。具体的には、以下の関数について極値を求めます。
(1) f(x)=x42x3+1f(x) = x^4 - 2x^3 + 1
(2) f(x)=x2exf(x) = x^2e^{-x}
(3) f(x)=xlogxf(x) = x\log x
(4) f(x)=x+2xf(x) = x + \frac{2}{x}

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

1. 導関数 $f'(x)$ を求める。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める(臨界点)。

3. $f''(x)$ を求める。

4. 臨界点における $f''(x)$ の符号を調べる。

* f(x)>0f''(x) > 0 ならば、その点で極小値をとる。
* f(x)<0f''(x) < 0 ならば、その点で極大値をとる。
* f(x)=0f''(x) = 0 の場合は、さらに高階の微分を調べる必要がある。

5. 極値を与える $x$ を元の関数 $f(x)$ に代入して、極値を計算する。

(1) f(x)=x42x3+1f(x) = x^4 - 2x^3 + 1
f(x)=4x36x2=2x2(2x3)f'(x) = 4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3)
f(x)=0f'(x) = 0 となるのは、x=0x = 0 または x=32x = \frac{3}{2}
f(x)=12x212xf''(x) = 12x^2 - 12x
f(0)=0f''(0) = 0 (x=0x=0では極値を持たない)
f(32)=12(32)212(32)=12(94)18=2718=9>0f''(\frac{3}{2}) = 12(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) = 12(\frac{9}{4}) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0
x=32x = \frac{3}{2} で極小値をとる。
f(32)=(32)42(32)3+1=81162(278)+1=81161088+1=81216+1616=11916f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^4 - 2(\frac{3}{2})^3 + 1 = \frac{81}{16} - 2(\frac{27}{8}) + 1 = \frac{81}{16} - \frac{108}{8} + 1 = \frac{81 - 216 + 16}{16} = \frac{-119}{16}
(2) f(x)=x2exf(x) = x^2e^{-x}
f(x)=2xexx2ex=ex(2xx2)=xex(2x)f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)
f(x)=0f'(x) = 0 となるのは、x=0x = 0 または x=2x = 2
f(x)=ex(22x)ex(2xx2)=ex(24x+x2)f''(x) = e^{-x}(2 - 2x) - e^{-x}(2x - x^2) = e^{-x}(2 - 4x + x^2)
f(0)=e0(20+0)=2>0f''(0) = e^0(2 - 0 + 0) = 2 > 0
f(2)=e2(28+4)=2e2<0f''(2) = e^{-2}(2 - 8 + 4) = -2e^{-2} < 0
x=0x = 0 で極小値をとる。f(0)=0f(0) = 0
x=2x = 2 で極大値をとる。f(2)=4e2=4e2f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}
(3) f(x)=xlogxf(x) = x\log x
定義域は x>0x > 0
f(x)=logx+x(1x)=logx+1f'(x) = \log x + x(\frac{1}{x}) = \log x + 1
f(x)=0f'(x) = 0 となるのは、logx=1\log x = -1 つまり x=e1=1ex = e^{-1} = \frac{1}{e}
f(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}
f(1e)=e>0f''(\frac{1}{e}) = e > 0
x=1ex = \frac{1}{e} で極小値をとる。
f(1e)=1elog(1e)=1e(loge)=1ef(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}\log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}(-\log e) = -\frac{1}{e}
(4) f(x)=x+2xf(x) = x + \frac{2}{x}
f(x)=12x2=x22x2f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}
f(x)=0f'(x) = 0 となるのは、x2=2x^2 = 2 つまり x=±2x = \pm\sqrt{2}
f(x)=4x3f''(x) = \frac{4}{x^3}
f(2)=4(2)3=422=22=2>0f''(\sqrt{2}) = \frac{4}{(\sqrt{2})^3} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0
f(2)=4(2)3=422=2<0f''(-\sqrt{2}) = \frac{4}{(-\sqrt{2})^3} = -\frac{4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0
x=2x = \sqrt{2} で極小値をとる。 f(2)=2+22=2+2=22f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
x=2x = -\sqrt{2} で極大値をとる。 f(2)=2+22=22=22f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}

3. 最終的な答え

(1) x=32x = \frac{3}{2} で極小値 11916-\frac{119}{16}
(2) x=0x = 0 で極小値 00, x=2x = 2 で極大値 4e2\frac{4}{e^2}
(3) x=1ex = \frac{1}{e} で極小値 1e-\frac{1}{e}
(4) x=2x = \sqrt{2} で極小値 222\sqrt{2}, x=2x = -\sqrt{2} で極大値 22-2\sqrt{2}

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