与えられた2つの2変数関数の極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在するかを調べ、存在する場合はその極限値を求める問題です。 (1) $f(x,y) = \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$ (2) $f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$

解析学多変数関数極限極座標変換
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた2つの2変数関数の極限 lim(x,y)(0,0)f(x,y)\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) が存在するかを調べ、存在する場合はその極限値を求める問題です。
(1) f(x,y)=x2y3x4+y4f(x,y) = \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}
(2) f(x,y)=x(ey1)(log(1+x))2+y2f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}

2. 解き方の手順

(1) 極限が存在するかを調べるために、いくつかの経路に沿って (0,0)(0,0) に近づけてみます。
経路1: y=xy = x に沿って近づく場合
limx0x2x3x4+x4=limx0x52x4=limx0x2=0\lim_{x \to 0} \frac{x^2 x^3}{x^4 + x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0
経路2: y=x2y = x^2 に沿って近づく場合
limx0x2(x2)3x4+(x2)4=limx0x8x4+x8=limx0x41+x4=01+0=0\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (x^2)^3}{x^4 + (x^2)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^8}{x^4 + x^8} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{1 + x^4} = \frac{0}{1+0} = 0
経路3: x=0x = 0 に沿って近づく場合
limy00y4=0\lim_{y \to 0} \frac{0}{y^4} = 0
経路4: y=0y = 0 に沿って近づく場合
limx00x4=0\lim_{x \to 0} \frac{0}{x^4} = 0
極座標変換を試みます。x=rcosθ,y=rsinθx = r \cos \theta, y = r \sin \theta とおくと、
f(x,y)=r2cos2θr3sin3θr4cos4θ+r4sin4θ=r5cos2θsin3θr4(cos4θ+sin4θ)=rcos2θsin3θcos4θ+sin4θf(x,y) = \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r^3 \sin^3 \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \frac{r^5 \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{r^4 (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)} = \frac{r \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{\cos^4 \theta + \sin^4 \theta}
cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)22cos2θsin2θ=12cos2θsin2θ=112sin2(2θ)\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2\theta)
よって、12cos4θ+sin4θ1\frac{1}{2} \le \cos^4 \theta + \sin^4 \theta \le 1.
したがって、
f(x,y)=rcos2θsin3θcos4θ+sin4θrcos2θsin3θ1/22r|f(x,y)| = \left| \frac{r \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{\cos^4 \theta + \sin^4 \theta} \right| \le \frac{r |\cos^2 \theta \sin^3 \theta|}{1/2} \le 2r
r0r \to 0 のとき、f(x,y)0|f(x,y)| \to 0. よって、lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=0\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4} = 0.
(2) 極限が存在するかを調べるために、いくつかの経路に沿って (0,0)(0,0) に近づけてみます。
ヒントより、limy0ey1y=1\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1 なので、ey1ye^y - 1 \approx y と近似できます。
また、log(1+x)x\log(1+x) \approx x と近似できます。
与えられた関数は f(x,y)=x(ey1)(log(1+x))2+y2f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2} なので、
f(x,y)xyx2+y2f(x,y) \approx \frac{xy}{x^2 + y^2}.
経路1: y=xy = x に沿って近づく場合
limx0x2x2+x2=limx0x22x2=12\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}
経路2: y=0y = 0 に沿って近づく場合
limx0x(e01)(log(1+x))2+0=limx00(log(1+x))2=0\lim_{x \to 0} \frac{x(e^0 - 1)}{(\log(1+x))^2 + 0} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{(\log(1+x))^2} = 0
経路によって極限値が異なるため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0
(2) 極限は存在しない

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