与えられた2つの2変数関数の極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在するかを調べ、存在する場合はその極限値を求める問題です。 (1) $f(x,y) = \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$ (2) $f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの2変数関数の極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在するかを調べ、存在する場合はその極限値を求める問題です。

(1) $f(x,y) = \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$

(2) $f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1) 極限が存在するかを調べるために、いくつかの経路に沿って $(0,0)$ に近づけてみます。

経路1: $y = x$ に沿って近づく場合

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 x^3}{x^4 + x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$

経路2: $y = x^2$ に沿って近づく場合

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (x^2)^3}{x^4 + (x^2)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^8}{x^4 + x^8} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{1 + x^4} = \frac{0}{1+0} = 0$

経路3: $x = 0$ に沿って近づく場合

$\lim_{y \to 0} \frac{0}{y^4} = 0$

経路4: $y = 0$ に沿って近づく場合

$\lim_{x \to 0} \frac{0}{x^4} = 0$

極座標変換を試みます。$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ とおくと、

$f(x,y) = \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r^3 \sin^3 \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \frac{r^5 \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{r^4 (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)} = \frac{r \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{\cos^4 \theta + \sin^4 \theta}$

$\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2\theta)$

よって、$\frac{1}{2} \le \cos^4 \theta + \sin^4 \theta \le 1$.

したがって、

$|f(x,y)| = \left| \frac{r \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{\cos^4 \theta + \sin^4 \theta} \right| \le \frac{r |\cos^2 \theta \sin^3 \theta|}{1/2} \le 2r$

$r \to 0$ のとき、$|f(x,y)| \to 0$. よって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4} = 0$.

(2) 極限が存在するかを調べるために、いくつかの経路に沿って $(0,0)$ に近づけてみます。

ヒントより、$\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1$ なので、$e^y - 1 \approx y$ と近似できます。

また、$\log(1+x) \approx x$ と近似できます。

与えられた関数は $f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$ なので、

$f(x,y) \approx \frac{xy}{x^2 + y^2}$.

経路1: $y = x$ に沿って近づく場合

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

経路2: $y = 0$ に沿って近づく場合

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^0 - 1)}{(\log(1+x))^2 + 0} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{(\log(1+x))^2} = 0$

経路によって極限値が異なるため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 極限は存在しない