与えられた2つの2変数関数の極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在するかを調べ、存在する場合はその極限値を求める問題です。 (1) $f(x,y) = \frac{x^2 y^3}{x^4 + y^4}$ (2) $f(x,y) = \frac{x(e^y - 1)}{(\log(1+x))^2 + y^2}$
2025/7/9
1. 問題の内容
与えられた2つの2変数関数の極限 が存在するかを調べ、存在する場合はその極限値を求める問題です。
(1)
(2)
2. 解き方の手順
(1) 極限が存在するかを調べるために、いくつかの経路に沿って に近づけてみます。
経路1: に沿って近づく場合
経路2: に沿って近づく場合
経路3: に沿って近づく場合
経路4: に沿って近づく場合
極座標変換を試みます。 とおくと、
よって、.
したがって、
のとき、. よって、.
(2) 極限が存在するかを調べるために、いくつかの経路に沿って に近づけてみます。
ヒントより、 なので、 と近似できます。
また、 と近似できます。
与えられた関数は なので、
.
経路1: に沿って近づく場合
経路2: に沿って近づく場合
経路によって極限値が異なるため、極限は存在しません。
3. 最終的な答え
(1) 0
(2) 極限は存在しない