以下の定積分を計算する問題です。 $\int_{1}^{3} x^2(x-4) dx + 4\int_{1}^{3} x(x-1) dx - \int_{2}^{3} x(x+2)(x-2) dx$

解析学定積分積分計算多項式
2025/7/5

1. 問題の内容

以下の定積分を計算する問題です。
13x2(x4)dx+413x(x1)dx23x(x+2)(x2)dx\int_{1}^{3} x^2(x-4) dx + 4\int_{1}^{3} x(x-1) dx - \int_{2}^{3} x(x+2)(x-2) dx

2. 解き方の手順

まず、各積分を展開して整理します。
13(x34x2)dx+413(x2x)dx23x(x24)dx\int_{1}^{3} (x^3 - 4x^2) dx + 4\int_{1}^{3} (x^2 - x) dx - \int_{2}^{3} x(x^2 - 4) dx
13(x34x2)dx+413(x2x)dx23(x34x)dx\int_{1}^{3} (x^3 - 4x^2) dx + 4\int_{1}^{3} (x^2 - x) dx - \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) dx
次に、それぞれの積分を計算します。
13(x34x2)dx=[14x443x3]13=(8141083)(1443)=8041043=201043=601043=443\int_{1}^{3} (x^3 - 4x^2) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3]_{1}^{3} = (\frac{81}{4} - \frac{108}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{4}{3}) = \frac{80}{4} - \frac{104}{3} = 20 - \frac{104}{3} = \frac{60-104}{3} = -\frac{44}{3}
413(x2x)dx=4[13x312x2]13=4[(27392)(1312)]=4[(992)(236)]=4[92+16]=4[27+16]=4[286]=4[143]=5634\int_{1}^{3} (x^2 - x) dx = 4[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{1}^{3} = 4[(\frac{27}{3} - \frac{9}{2}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})] = 4[(9 - \frac{9}{2}) - (\frac{2-3}{6})] = 4[\frac{9}{2} + \frac{1}{6}] = 4[\frac{27+1}{6}] = 4[\frac{28}{6}] = 4[\frac{14}{3}] = \frac{56}{3}
23(x34x)dx=[14x42x2]23=(81418)(48)=(81418)+4=81414=81564=254\int_{2}^{3} (x^3 - 4x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{2}^{3} = (\frac{81}{4} - 18) - (4 - 8) = (\frac{81}{4} - 18) + 4 = \frac{81}{4} - 14 = \frac{81 - 56}{4} = \frac{25}{4}
したがって、
443+563254=123254=4254=16254=94-\frac{44}{3} + \frac{56}{3} - \frac{25}{4} = \frac{12}{3} - \frac{25}{4} = 4 - \frac{25}{4} = \frac{16 - 25}{4} = -\frac{9}{4}

3. 最終的な答え

94-\frac{9}{4}

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to \...

関数の増減極値グラフの凹凸変曲点極限グラフ
2025/7/13

関数 $f(x) = x(e^x - 4e^{-x})$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 不等式 $f(x) < 0$ を解く。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲...

不等式関数のグラフ面積積分指数関数部分積分
2025/7/13

添付の図の(1)と(2)はそれぞれ、ある関数 $y = f(x)$ の導関数 $y' = f'(x)$ のグラフです。それぞれの導関数のグラフから、元の関数 $y = f(x)$ の概形として適切なも...

導関数関数の概形微分
2025/7/13

添付の図の(1)から(4)それぞれの増減表から作成できるグラフの概形を、aからeから選ぶ問題です。

微分増減表グラフ関数の概形
2025/7/13

与えられた4つの導関数 $y'=f'(x)$ のグラフそれぞれに対して、対応する増減表を選択する問題です。

導関数増減表グラフ微分
2025/7/13

座標平面上の曲線 $y = x^3 + x^2 - 2x$ を $C$ とする。 (1) 曲線 $C$ と $x$ 軸の交点の座標を求める。 (2) (1) で求めた点における曲線 $C$ の接線の方...

微分積分曲線接線面積
2025/7/13

放物線 $y = x^2 - 2x$ をCとする。C上の点Pのx座標を$t$ ($t>2$) とする。点PにおけるCの接線を$l_1$、原点OにおけるCの接線を$l_2$とする。 (1) $l_1$の...

微分接線積分面積放物線
2025/7/13

関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 + 4x\int_{-1}^0 f(t) dt - 2\int_1^3 f(t) dt$ を満たすとき、$a = \int_{-1}^0 f(t) d...

積分定積分絶対値関数連立方程式
2025/7/13

以下の積分を部分積分法を用いて求めます。 (1) $\int 2x \cos x \, dx$ (2) $\int 2x e^{2x} \, dx$ (3) $\int x^2 \log x \, d...

積分部分積分法定積分
2025/7/13

関数 $f(x) = \log(x^2 + 1)$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to \pm\inf...

関数の増減極値凹凸変曲点極限対数関数
2025/7/13