$\sin 15^\circ \cos 105^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin 15^\circ \cos 105^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 105^\circ$ を変形します。

$\cos 105^\circ = \cos (60^\circ + 45^\circ)$ と表せるので、加法定理を用いると、

$\cos 105^\circ = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

次に、$\sin 15^\circ$ を変形します。

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ)$ と表せるので、加法定理を用いると、

$\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$\sin 15^\circ \cos 105^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{16} = \frac{\sqrt{12} - 6 - 2 + \sqrt{12}}{16} = \frac{2\sqrt{12} - 8}{16} = \frac{4\sqrt{3} - 8}{16} = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3} - 2}{4}$