次の4つの関数の導関数を計算します。 (1) $ \left( \frac{1}{(x+1)(x+2)} \right)' $ (2) $ \left( \frac{1}{\cos x} \right)' $ (3) $ \left( \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right)' $ (4) $ \left( \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}} \right)' $

はい、承知いたしました。画像に写っている微分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の4つの関数の導関数を計算します。

(1) $\left( \frac{1}{(x+1)(x+2)} \right)'$

(2) $\left( \frac{1}{\cos x} \right)'$

(3) $\left( \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right)'$

(4) $\left( \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}} \right)'$

2. 解き方の手順

(1) $\left( \frac{1}{(x+1)(x+2)} \right)'$

まず、$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$のとき、$1 = A(-1+2) + B(-1+1)$より、$A = 1$

$x = -2$のとき、$1 = A(-2+2) + B(-2+1)$より、$B = -1$

したがって、$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

これより、

$\left( \frac{1}{(x+1)(x+2)} \right)' = \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right)' = \left( \frac{1}{x+1} \right)' - \left( \frac{1}{x+2} \right)'$

$= - \frac{1}{(x+1)^2} - \left( - \frac{1}{(x+2)^2} \right) = - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$

$= \frac{-(x+2)^2 + (x+1)^2}{(x+1)^2(x+2)^2} = \frac{-(x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 2x + 1)}{(x+1)^2(x+2)^2}$

$= \frac{-2x - 3}{(x+1)^2(x+2)^2}$

(2) $\left( \frac{1}{\cos x} \right)'$

$\frac{1}{\cos x} = \sec x$

$(\sec x)' = \sec x \tan x = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

(3) $\left( \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right)'$

$\left( \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right)' = \left( \frac{1}{e^x + \frac{1}{e^x}} \right)' = \left( \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \right)'$

$= \frac{e^x(e^{2x}+1)' - e^x (e^{2x} + 1)}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{e^x (2e^{2x}) - e^x(e^{2x} + 1)}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{2e^{3x} - e^{3x} - e^x}{(e^{2x} + 1)^2}$

$= \frac{e^{3x} - e^x}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{e^x(e^{2x} - 1)}{(e^{2x} + 1)^2}$

あるいは、$f(x) = e^x + e^{-x} = 2 \cosh x$ なので、

$\left( \frac{1}{2 \cosh x} \right)' = \frac{- (2 \cosh x)'}{(2 \cosh x)^2} = \frac{-2 \sinh x}{4 \cosh^2 x} = \frac{- \sinh x}{2 \cosh^2 x}$

$= \frac{- (e^x - e^{-x})/2}{2 ((e^x + e^{-x})/2)^2} = \frac{- (e^x - e^{-x}) / 2}{2 (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) / 4} = \frac{- (e^x - e^{-x}) / 2}{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) / 2}$

$= \frac{e^{-x} - e^x}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}} = \frac{e^{3x} - e^x}{(e^{2x} + 1)^2}$

(4) $\left( \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}} \right)'$

$\left( \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}} \right)' = - \frac{(1 + \sqrt{1+x^2})'}{(1 + \sqrt{1+x^2})^2} = - \frac{\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x}{(1 + \sqrt{1+x^2})^2}$

$= - \frac{x}{\sqrt{1+x^2} (1 + \sqrt{1+x^2})^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\left( \frac{1}{(x+1)(x+2)} \right)' = \frac{-2x - 3}{(x+1)^2(x+2)^2}$

(2) $\left( \frac{1}{\cos x} \right)' = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

(3) $\left( \frac{1}{e^x + e^{-x}} \right)' = \frac{e^x(e^{2x} - 1)}{(e^{2x} + 1)^2}$

(4) $\left( \frac{1}{1 + \sqrt{1+x^2}} \right)' = - \frac{x}{\sqrt{1+x^2} (1 + \sqrt{1+x^2})^2}$