$\tan^{-1}(\tan \frac{2}{3}\pi)$ の値を求める問題です。選択肢の中から正解を選びます。

1. 問題の内容

$\tan^{-1}(\tan \frac{2}{3}\pi)$ の値を求める問題です。選択肢の中から正解を選びます。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}(x)$ は逆正接関数と呼ばれ、その定義域は実数全体、値域は$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。

したがって、$\tan^{-1}(\tan x) = x$ となるのは、$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ のときのみです。

今回の問題では、$x = \frac{2}{3}\pi$ ですが、これは $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲を満たしていません。

そこで、$\tan \frac{2}{3}\pi$ の値を別の角度で表すことを考えます。

$\tan(\pi + x) = \tan x$ および $\tan(\pi - x) = -\tan x$ という性質を利用します。

$\tan \frac{2}{3}\pi = \tan(\pi - \frac{1}{3}\pi) = - \tan \frac{\pi}{3}$

また、$\tan(-x) = -\tan x$ なので、

$- \tan \frac{\pi}{3} = \tan(-\frac{\pi}{3})$

よって、

$\tan \frac{2}{3}\pi = \tan(-\frac{\pi}{3})$

$-\frac{\pi}{3}$ は $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲内にあるため、

$\tan^{-1}(\tan \frac{2}{3}\pi) = \tan^{-1}(\tan(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{3}$