$\lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{\ln x}{x}}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{\ln x}{x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$y = (1+x^2)^{\frac{\ln x}{x}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \frac{\ln x}{x} \ln (1+x^2)$

となります。

ここで、$x \to \infty$ のとき $\frac{\ln x}{x} \ln (1+x^2)$ の極限を考えます。

$\ln (1+x^2) = \ln (x^2 (1+\frac{1}{x^2})) = \ln x^2 + \ln(1+\frac{1}{x^2}) = 2 \ln x + \ln(1+\frac{1}{x^2})$

なので、

$\ln y = \frac{\ln x}{x} (2\ln x + \ln(1+\frac{1}{x^2})) = \frac{2(\ln x)^2}{x} + \frac{\ln x}{x} \ln(1+\frac{1}{x^2})$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、$\ln(1+\frac{1}{x^2}) \approx \frac{1}{x^2}$ と近似できます。

したがって、

$\ln y \approx \frac{2(\ln x)^2}{x} + \frac{\ln x}{x^3}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\frac{(\ln x)^2}{x} \to 0$ および $\frac{\ln x}{x^3} \to 0$ となります。（ロピタルの定理を使うと確認できます）

実際、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot \frac{1}{x}}{1} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x^3} = 0$

よって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$ となります。

したがって、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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