与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 4 & 1 \\

-1 & 2 & 1 & 2 \\

3 & 2 & -1 & 0 \\

2 & 0 & -1 & 3

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に沿って展開することができます。ここでは、第1行に沿って展開することにします。

行列式は次のように計算できます。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 4 & 1 \\

-1 & 2 & 1 & 2 \\

3 & 2 & -1 & 0 \\

2 & 0 & -1 & 3

\end{vmatrix} = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 4 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

ここで $C_{ij}$ は要素 (i, j) の余因子です。余因子は次のように計算されます。

$C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$

ここで $M_{ij}$ は要素 (i, j) の小行列式です。

まず、各小行列式を計算します。

$M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 2(-3 - 0) - 1(6 - 0) + 2(-2 - 0) = -6 - 6 - 4 = -16$

$M_{12} = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = -1(-3 - 0) - 1(9 - 0) + 2(-3 + 2) = 3 - 9 - 2 = -8$

$M_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = -1(6 - 0) - 2(9 - 0) + 2(0 - 4) = -6 - 18 - 8 = -32$

$M_{14} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1(-2 - 0) - 2(-3 + 2) + 1(0 - 4) = 2 + 2 - 4 = 0$

次に、各余因子を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot (-16) = -16$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -1 \cdot (-8) = 8$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = 1 \cdot (-32) = -32$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \cdot M_{14} = -1 \cdot (0) = 0$

最後に、行列式を計算します。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 4 & 1 \\

-1 & 2 & 1 & 2 \\

3 & 2 & -1 & 0 \\

2 & 0 & -1 & 3

\end{vmatrix} = 1 \cdot (-16) + 2 \cdot (8) + 4 \cdot (-32) + 1 \cdot (0) = -16 + 16 - 128 + 0 = -128$

3. 最終的な答え

-128