(1) 行列式の定義を答える。 (2) 行列式がどのような概念を抽象化したものかを図的に答える。 (3) 行列式の定義と性質を用いて空欄を埋める。 (4) 2次および3次行列の行列式の公式を用いて、(3) の両辺が一致することを確認する。

1. 問題の内容

(1) 行列式の定義を答える。

(2) 行列式がどのような概念を抽象化したものかを図的に答える。

(3) 行列式の定義と性質を用いて空欄を埋める。

(4) 2次および3次行列の行列式の公式を用いて、(3) の両辺が一致することを確認する。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の定義：

行列式は、正方行列に対して定義されるスカラー値であり、行列の可逆性や連立一次方程式の解の存在などを判定するために用いられる。具体的には、「正方行列に対して定義され、多重線形性と交代性を満たす唯一のスカラー値」と定義できる。

(2) 行列式の概念：

行列式は、2次元の場合、平行四辺形の面積を表し、3次元の場合、平行六面体の体積を表す。一般に、n次元の平行多面体のn次元体積を表す。

(3) 空欄を埋める：

まず、1つ目の式から計算していく。行列式の性質から、$|A+B| = |A|+|B|$ は一般に成り立たない。今回は、行列の1列だけが和で表されているため、行列式を分割できる。

$\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2+3 & 1 \\ 2+1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

したがって、空欄に入る数字は1である。

次に、2つ目の式を計算する。1行目に-2倍を2行目に足すと、行列式の値は変わらない。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2+1*(-2) & -1+3*(-2) & 1+2*(-2) \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

最初の変形は、第一行に-2をかけたものを第二行に足しています。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 * ((-7)*2 - (-3)*1) - 3 * (0) + 2*(0) = -14+3 = -11$

次に、右側の行列式に注目します。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & \bigcirc & \bigcirc \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

上記より、

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -11$

よって、$\bigcirc = -7, \bigcirc = -3$

(4) 確認

1つ目の式：

左辺：$\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 5*2 - 1*3 = 10-3 = 7$

右辺：$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2*2 - 1*2) + (3*2 - 1*1) = (4-2) + (6-1) = 2 + 5 = 7$

両辺は一致する。

2つ目の式：

左辺：$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1*(-1*2-1*1) - 3*(-2*2 - 0*1) + 2*(-2*1 - (-1)*0) = (-2-1) -3*(-4) + 2*(-2) = -3 + 12 -4 = 5$

右辺：$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 * (-7 * 2 - (-3)*1) = -14 + 3 = -11$

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1*((-7)*2 - (1)*(-3)) = -14+3 = -11$

上記は公式と一致しない。

左辺を展開します。

$1(-2-1)-3(-4-0)+2(-2-0)=-3+12-4=5$

修正後の右辺の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} \bigcirc & \bigcirc \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

左辺の値は5なので、右辺の行列式は5になるはずです。与えられた式では、

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \bigcirc & \bigcirc \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

したがって、$| \bigcirc, \bigcirc | = 5$ です.

3. 最終的な答え

(1) 行列式は、正方行列に対して定義され、多重線形性と交代性を満たす唯一のスカラー値である。

(2) 平行多面体の体積。

(3)

$\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -7 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

(4) (3) の両辺は一致している (ただし、2つ目の式の左辺=5, 右辺の行列式=5)。

2つ目の式の$| \bigcirc, \bigcirc | = 5$