与えられた数式を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の数式について、括弧内の数字に対応する値を求める必要があります。 1. $\frac{3x^2 + 1}{x} = \frac{ [1] x^2 - [2] }{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の数式について、括弧内の数字に対応する値を求める必要があります。

1. $\frac{3x^2 + 1}{x} = \frac{ [1] x^2 - [2] }{x^2}$

2. $\frac{x^3 - 3x^2 + 3x + 1}{x} = \frac{ [3] x [4] - [5] x [6] - [7]}{x^2}$

3. $\frac{x^2 - 3x + 1}{2x - 3} = \frac{ [8] x^2 - [9] x + [10]}{(2x - 3)^2}$

4. $\frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 4} = \frac{[11]}{(x - [12]) [13]}$

5. $\frac{e^x}{2x + 1} = \frac{ e^x ([14] x - [15])}{(2x + 1)^2}$

6. $\frac{\log_e{|x|}}{x^2 + x} = \frac{[16] + x - ([17] x + [18])\log_e{|x|}}{(x^2 + x)^2}$

2. 解き方の手順

1. $\frac{3x^2 + 1}{x} = \frac{3x^3 + x}{x^2} = \frac{3x^3 - (-x)}{x^2}$. したがって、$[1]=3$、$[2]=-1$です。

2. $\frac{x^3 - 3x^2 + 3x + 1}{x} = \frac{x^4 - 3x^3 + 3x^2 + x}{x^2} = \frac{x^4 - 3x^3 - (-3x^2) - (-x)}{x^2}$. したがって、$[3]=1$, $[4]=4$, $[5]=3$, $[6]=3$, $[7]=-1$です。

3. $\frac{x^2 - 3x + 1}{2x - 3} = \frac{(x^2 - 3x + 1)(2x - 3)}{(2x - 3)^2} = \frac{2x^3 - 3x^2 - 6x^2 + 9x + 2x - 3}{(2x - 3)^2} = \frac{2x^3 - 9x^2 + 11x - 3}{(2x - 3)^2}$. したがって、$[8]=2$, $[9]=11$, $[10]=-3$です。

4. $\frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 4} = \frac{2(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{2}{(x - 2)}$. したがって、$[11]=2$, $[12]=2$, $[13]=1$です。

5. $\frac{e^x}{2x + 1} = \frac{e^x (2x + 1) - e^x (2)}{(2x + 1)^2} = \frac{ e^x (2x + 1 - 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{e^x (2x - 1)}{(2x + 1)^2}$. したがって、$[14]=2$, $[15]=1$です。

6. $\frac{\log_e{|x|}}{x^2 + x} = \frac{\log_e{|x|} (x^2 + x) - \log_e{|x|} (2x + 1)(x^2 + x)^2}{(x^2 + x)^2} = \frac{\frac{1}{x}(x^2+x) - (2x+1)log_e{|x|}}{(x^2+x)^2} = \frac{(x+1) - (2x+1)log_e{|x|}}{(x^2+x)^2}$. したがって、$[16]=1$, $[17]=2$, $[18]=1$です。

3. 最終的な答え

1. [1] = 3, [2] = -1

2. [3] = 1, [4] = 4, [5] = 3, [6] = 3, [7] = -1

3. [8] = 2, [9] = 11, [10] = -3

4. [11] = 2, [12] = 2, [13] = 1

5. [14] = 2, [15] = 1

6. [16] = 1, [17] = 2, [18] = 1