関数 $y = f(x)$ において、$x=a$ での微分係数 $f'(a)$ が与えられたとき、以下の記述のうち妥当なものをすべて選ぶ問題です。

解析学微分係数関数の増減微分

2025/7/2

1. 問題の内容

関数

y = f(x)

において、

x=a

での微分係数

f'(a)

が与えられたとき、以下の記述のうち妥当なものをすべて選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

* **選択肢1：** 微分係数

f'(a)

が正なら、どの

x

でも関数の値は増える。

これは誤りです。微分係数

f'(a)

が正であることは、

x=a

において関数が増加することを示しますが、すべての

x

で増加するとは限りません。例えば、

x=a

の近くでは増加していても、別の場所では減少している可能性があります。

* **選択肢2：** 微分係数

f'(a)

が負なら、どの

x

でも関数の値は減る。

これも誤りです。微分係数

f'(a)

が負であることは、

x=a

において関数が減少することを示しますが、すべての

x

で減少するとは限りません。例えば、

x=a

の近くでは減少していても、別の場所では増加している可能性があります。

* **選択肢3：** 微分係数

f'(a)

が正なら、

x=a

の十分近くで関数の値は増える。

これは正しいです。微分係数の定義より、

f'(a) > 0

であれば、

x=a

の十分近くで、

x

が増加するときに

f(x)

も増加します。

* **選択肢4：** 微分係数

f'(a)

が負なら、

x=a

の十分近くで関数の値は減る。

これは正しいです。微分係数の定義より、

f'(a) < 0

であれば、

x=a

の十分近くで、

x

が増加するときに

f(x)

は減少します。

3. 最終的な答え

3 と 4

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