関数 $f(x) = \frac{r^2}{4 + r^2}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{r^2}{4 + r^2}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(r) = \frac{r^2}{4+r^2}$ を変形して最大値と最小値を求めます。

まず、$f(r)$ を以下のように変形します。

$f(r) = \frac{r^2}{4+r^2} = \frac{r^2+4-4}{4+r^2} = \frac{4+r^2}{4+r^2} - \frac{4}{4+r^2} = 1 - \frac{4}{4+r^2}$

ここで、$r^2 \geq 0$ であるため、$4+r^2 \geq 4$ が成り立ちます。

したがって、$\frac{1}{4+r^2} \leq \frac{1}{4}$ となります。

さらに、$\frac{4}{4+r^2} \leq \frac{4}{4} = 1$ となります。

このことから、$-\frac{4}{4+r^2} \geq -1$ となります。

よって、$f(r) = 1 - \frac{4}{4+r^2} \geq 1 - 1 = 0$ となります。

$r=0$ のとき、$f(0) = \frac{0}{4+0} = 0$ となり、$f(r)$ は最小値0を取ります。

次に、$r$ が大きくなると、$r^2$ も大きくなり、$4+r^2$ も大きくなります。

$\frac{4}{4+r^2}$ は、$r$ が大きくなるにつれて小さくなり、0に近づきます。

そのため、$f(r) = 1 - \frac{4}{4+r^2}$ は、$r$ が大きくなるにつれて1に近づきます。

$r$ がどのような値であっても、$f(r) < 1$ となるため、$f(r)$ は最大値を持ちません。

ただし、上限は1となります。

3. 最終的な答え

最小値: 0

最大値: なし (上限は 1)