与えられた無限級数 $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数

$\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$

の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

とおき、両辺に $(2n-1)(2n+1)$ をかけると

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

となります。

$n = \frac{1}{2}$ を代入すると $1 = A(2\cdot\frac{1}{2}+1) + B(2\cdot\frac{1}{2}-1)$より $1 = 2A$となり、$A = \frac{1}{2}$です。

$n = -\frac{1}{2}$ を代入すると $1 = A(2\cdot(-\frac{1}{2})+1) + B(2\cdot(-\frac{1}{2})-1)$より $1 = -2B$となり、$B = -\frac{1}{2}$です。

したがって、

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

と表せます。

次に、第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

最後に、$n \to \infty$ のときの $S_n$ の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$

したがって、与えられた無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

収束し、和は $\frac{1}{2}$