写像 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $f(x, y) = x - y^2 + 1$ で定義されている。 (1) $\mathbb{R}^2$ の部分集合 $A = \{(1, y) \mid y \in [0, 2]\}$ の $f$ による像 $f(A)$ を求める。 (2) 直積集合 $\mathbb{R}^2$ を平面とみなすとき、$f$ の逆像 $f^{-1}(\{0\})$ を図示する。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

写像 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $f(x, y) = x - y^2 + 1$ で定義されている。

(1) $\mathbb{R}^2$ の部分集合 $A = \{(1, y) \mid y \in [0, 2]\}$ の $f$ による像 $f(A)$ を求める。

(2) 直積集合 $\mathbb{R}^2$ を平面とみなすとき、$f$ の逆像 $f^{-1}(\{0\})$ を図示する。

2. 解き方の手順

(1) 集合 $A$ の要素は $(1, y)$ であり、$y$ は閉区間 $[0, 2]$ の値を取る。$f(A)$ を求めるには、$f(1, y)$ を計算し、$y$ が $[0, 2]$ の範囲で変化するときの $f(1, y)$ の値の範囲を求める。

$f(1, y) = 1 - y^2 + 1 = 2 - y^2$ である。

$y$ が $[0, 2]$ の範囲にあるので、$y^2$ は $[0, 4]$ の範囲にある。

したがって、$-y^2$ は $[-4, 0]$ の範囲にある。

$2 - y^2$ は $2 + [-4, 0] = [-2, 2]$ の範囲にある。

よって、$f(A) = [-2, 2]$ である。

(2) 逆像 $f^{-1}(\{0\})$ は、$f(x, y) = 0$ となる $(x, y)$ の集合である。

$f(x, y) = x - y^2 + 1 = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$x - y^2 + 1 = 0$ を $x$ について解くと、$x = y^2 - 1$ となる。

これは放物線を表す。$xy$ 平面上に、$x = y^2 - 1$ を図示すると、求める逆像となる。頂点が $(-1, 0)$ で、$x$軸方向に開いた放物線となる。

3. 最終的な答え

(1) $f(A) = [-2, 2]$

(2) $f^{-1}(\{0\})$ は、$x = y^2 - 1$ で表される放物線。