関数 $f(x, y) = x^2 + 2x + 6xy + 3y + 2y^2$ について、点 $(1, 2)$ における2次のテイラー展開を求める。

## 問題1(a)

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + 2x + 6xy + 3y + 2y^2$ について、点 $(1, 2)$ における2次のテイラー展開を求める。

2. 解き方の手順

2変数関数の2次のテイラー展開は、点$(a, b)$の近傍において以下の式で表される。

$f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) + \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)(x-a)^2 + f_{xy}(a, b)(x-a)(y-b) + \frac{1}{2}f_{yy}(a, b)(y-b)^2$

まず、与えられた関数 $f(x, y)$ の偏導関数を計算する。

$f_x(x, y) = 2x + 2 + 6y$

$f_y(x, y) = 6x + 3 + 4y$

$f_{xx}(x, y) = 2$

$f_{xy}(x, y) = 6$

$f_{yy}(x, y) = 4$

次に、これらの偏導関数を点 $(1, 2)$ で評価する。

$f(1, 2) = 1^2 + 2(1) + 6(1)(2) + 3(2) + 2(2)^2 = 1 + 2 + 12 + 6 + 8 = 29$

$f_x(1, 2) = 2(1) + 2 + 6(2) = 2 + 2 + 12 = 16$

$f_y(1, 2) = 6(1) + 3 + 4(2) = 6 + 3 + 8 = 17$

$f_{xx}(1, 2) = 2$

$f_{xy}(1, 2) = 6$

$f_{yy}(1, 2) = 4$

これらの値をテイラー展開の式に代入する。

$f(x, y) \approx 29 + 16(x-1) + 17(y-2) + \frac{1}{2}(2)(x-1)^2 + 6(x-1)(y-2) + \frac{1}{2}(4)(y-2)^2$

$f(x, y) \approx 29 + 16(x-1) + 17(y-2) + (x-1)^2 + 6(x-1)(y-2) + 2(y-2)^2$

3. 最終的な答え

$f(x, y) \approx 29 + 16(x-1) + 17(y-2) + (x-1)^2 + 6(x-1)(y-2) + 2(y-2)^2$

## 問題3(a)

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^n y^{2-n}$ が何次の同次関数であるかを示し、オイラーの公式が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、同次関数の定義を確認する。関数 $f(x, y)$ が k次の同次関数であるとは、すべての $t > 0$ に対して

$f(tx, ty) = t^k f(x, y)$

が成り立つことである。

与えられた関数について、

$f(tx, ty) = (tx)^n (ty)^{2-n} = t^n x^n t^{2-n} y^{2-n} = t^{n + 2 - n} x^n y^{2-n} = t^2 x^n y^{2-n} = t^2 f(x, y)$

したがって、$f(x, y)$ は2次の同次関数である。

次に、オイラーの公式を確認する。k次の同次関数 $f(x, y)$ に対して、オイラーの公式は

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = k f(x, y)$

で与えられる。

偏導関数を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = n x^{n-1} y^{2-n}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = (2-n) x^n y^{1-n}$

オイラーの公式の左辺に代入する。

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = x (n x^{n-1} y^{2-n}) + y ((2-n) x^n y^{1-n}) = n x^n y^{2-n} + (2-n) x^n y^{2-n} = (n + 2 - n) x^n y^{2-n} = 2 x^n y^{2-n} = 2 f(x, y)$

これはオイラーの公式の右辺に一致する（$k = 2$）。

3. 最終的な答え

$f(x, y) = x^n y^{2-n}$ は2次の同次関数であり、オイラーの公式が成り立つ。