以下の4つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{1} (1-x)^4 dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$ (3) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ (4) $\int_{0}^{1} \frac{x}{2-x^2} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{1} (1-x)^4 dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$

(3) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{x}{2-x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} (1-x)^4 dx$

$u = 1-x$ と置換すると、$du = -dx$ となり、$x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=0$ なので、

$\int_{0}^{1} (1-x)^4 dx = \int_{1}^{0} u^4 (-du) = \int_{0}^{1} u^4 du = \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$

$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

(3) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となり、$x=1$ のとき $u=0$, $x=e$ のとき $u=1$ なので、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \int_{0}^{1} u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{x}{2-x^2} dx$

$u = 2 - x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となり、$x=0$ のとき $u=2$, $x=1$ のとき $u=1$ なので、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{2-x^2} dx = \int_{2}^{1} \frac{1}{u} (-\frac{1}{2} du) = -\frac{1}{2} \int_{2}^{1} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \left[ \log |u| \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} (\log 2 - 0) = \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $0$

(3) $\frac{1}{2}$

(4) $\frac{1}{2} \log 2$