曲線 $y = \frac{1}{2}(x^2 + 1)$ 上の点Pにおける接線がx軸と交わる点をQとする。線分PQの長さをLとするとき、Lがとりうる値の最小値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{2}(x^2 + 1)$ 上の点Pにおける接線がx軸と交わる点をQとする。線分PQの長さをLとするとき、Lがとりうる値の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の点Pの座標を $(t, \frac{1}{2}(t^2+1))$ とおく。次に、曲線 $y = \frac{1}{2}(x^2+1)$ を微分して、$y' = x$ を得る。点Pにおける接線の傾きは $t$ である。したがって、点Pにおける接線の方程式は、

$y - \frac{1}{2}(t^2+1) = t(x - t)$

$y = tx - t^2 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}$

$y = tx - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}$

接線がx軸と交わる点Qの座標を求めるために、$y=0$ とおくと、

$0 = tx - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}$

$tx = \frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{2}$

$x = \frac{t^2 - 1}{2t}$

したがって、点Qの座標は $(\frac{t^2-1}{2t}, 0)$ となる。

次に、線分PQの長さをLとする。Lは2点間の距離の公式を用いて、

$L = \sqrt{(t - \frac{t^2 - 1}{2t})^2 + (\frac{1}{2}(t^2 + 1) - 0)^2}$

$L = \sqrt{(\frac{2t^2 - t^2 + 1}{2t})^2 + (\frac{t^2 + 1}{2})^2}$

$L = \sqrt{(\frac{t^2 + 1}{2t})^2 + (\frac{t^2 + 1}{2})^2}$

$L = \sqrt{(\frac{(t^2 + 1)^2}{4t^2}) + (\frac{(t^2 + 1)^2}{4})}$

$L = \sqrt{\frac{(t^2 + 1)^2(1+t^2)}{4t^2}}$

$L = \frac{(t^2 + 1)\sqrt{t^2+1}}{2|t|} = \frac{(t^2+1)^{3/2}}{2|t|}$

$L$ が最小となる条件を求めるために、$f(t) = \frac{(t^2+1)^{3/2}}{2|t|}$ の最小値を考える。

$t>0$の場合を考えると、$f(t) = \frac{(t^2+1)^{3/2}}{2t}$となるので、$f'(t) = \frac{3t(t^2+1)^{1/2}(2t) - (t^2+1)^{3/2} \cdot 2}{4t^2} = \frac{4t^4+6t^2 - 2t^4 - 4t^2 -2}{4t^2\sqrt{t^2+1}} = \frac{2t^4 +2t^2 - 2}{4t^2 \sqrt{t^2+1}}$.

$t^4+t^2 - 1 = 0$を解くと，$t^2 = \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$. $t^2>0$なので、$t^2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

$t = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

$t^2+1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$L = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{3/2}}{2\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}} = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{3/2}}{2\frac{\sqrt{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{2}}} = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{3/2}}{\sqrt{2(\sqrt{5}-1)}} = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{3/2}}{\sqrt{2(\sqrt{5}-1)}}$.

ここで $t^2 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$t^2+1 = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. $t>0$とする。

$L = \frac{(t^2+1)^{3/2}}{2t}$

$L = \frac{(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^{3/2}}{2\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$.

$t=1$の時、$L = \frac{(1+1)^{3/2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

$f'(t) = \frac{(3/2)(t^2+1)^{1/2}(2t)(2t) - (t^2+1)^{3/2}(2)}{4t^2} = \frac{6t^2\sqrt{t^2+1}-2(t^2+1)\sqrt{t^2+1}}{4t^2} = \frac{2\sqrt{t^2+1}(3t^2 - (t^2+1))}{4t^2} = \frac{\sqrt{t^2+1}(2t^2-1)}{2t^2}$

$2t^2-1=0 \implies t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$L = \frac{(\frac{1}{2}+1)^{3/2}}{2\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{(\frac{3}{2})^{3/2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2} \sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$