ベクトル $a$ とベクトル $b$ のなす角を $\theta$ とするとき、次のそれぞれの場合について、内積 $a \cdot b$ を求めます。 (1) $|a| = 1$, $|b| = 2$, $\theta = 30^\circ$ (2) $|a| = 2$, $|b| = 5$, $\theta = 135^\circ$

1. 問題の内容

ベクトル $a$ とベクトル $b$ のなす角を $\theta$ とするとき、次のそれぞれの場合について、内積 $a \cdot b$ を求めます。

(1) $|a| = 1$, $|b| = 2$, $\theta = 30^\circ$

(2) $|a| = 2$, $|b| = 5$, $\theta = 135^\circ$

2. 解き方の手順

内積の定義 $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ を用います。

(1) $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta = 2 \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ = 10 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $-5\sqrt{2}$