（1）ベクトル $\vec{a} = (3, 4)$ に垂直で大きさが5のベクトル $\vec{p}$ を求める。 （2）ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

1. 問題の内容

（1）ベクトル $\vec{a} = (3, 4)$ に垂直で大きさが5のベクトル $\vec{p}$ を求める。

（2）ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

2. 解き方の手順

（1）

$\vec{a} = (3, 4)$ に垂直なベクトルを $\vec{p} = (x, y)$ とすると、内積は0になるので、

$3x + 4y = 0$

この式を満たす $\vec{p}$ は $\vec{p} = (4k, -3k)$ (kは実数) と表せる。

$\vec{p}$ の大きさが5であるから、

$\sqrt{(4k)^2 + (-3k)^2} = 5$

$\sqrt{16k^2 + 9k^2} = 5$

$\sqrt{25k^2} = 5$

$5|k| = 5$

$|k| = 1$

よって、$k = 1$ または $k = -1$

したがって、$\vec{p} = (4, -3)$ または $\vec{p} = (-4, 3)$

（2）

$\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直なベクトルを $\vec{e} = (x, y)$ とすると、内積は0になるので、

$-4x + 3y = 0$

この式を満たす $\vec{e}$ は $\vec{e} = (3k, 4k)$ (kは実数) と表せる。

$\vec{e}$ は単位ベクトルなので、大きさが1である。

$\sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = 1$

$\sqrt{9k^2 + 16k^2} = 1$

$\sqrt{25k^2} = 1$

$5|k| = 1$

$|k| = \frac{1}{5}$

よって、$k = \frac{1}{5}$ または $k = -\frac{1}{5}$

したがって、$\vec{e} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ または $\vec{e} = (-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$

3. 最終的な答え

（1）$\vec{p} = (4, -3)$ または $\vec{p} = (-4, 3)$

（2）$\vec{e} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ または $\vec{e} = (-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$