$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$ で, $3\vec{a} + 2\vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$ で, $3\vec{a} + 2\vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$3\vec{a} + 2\vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直なので、内積は0である。

$(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

これを展開すると

$3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ なので、

$3|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を代入すると、

$3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta - 2|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$ を代入すると、

$3(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos\theta - 2(2)^2 = 0$

$3(2) - 2\sqrt{2}\cos\theta - 2(4) = 0$

$6 - 2\sqrt{2}\cos\theta - 8 = 0$

$-2 - 2\sqrt{2}\cos\theta = 0$

$-2\sqrt{2}\cos\theta = 2$

$\cos\theta = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ なので、$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{3}{4}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3}{4}\pi$