直方体において、辺BF上に点Pを取る。AP+PGが最も短くなるような点Pを取ったとき、PFの長さを求める問題です。AE=3cm, EF=4cm, FG=5cmです。

1. 問題の内容

直方体において、辺BF上に点Pを取る。AP+PGが最も短くなるような点Pを取ったとき、PFの長さを求める問題です。AE=3cm, EF=4cm, FG=5cmです。

2. 解き方の手順

AP+PGが最短になるのは、点A, P, Gが一直線上に並ぶ時です。このためには、直方体を展開し、AとGを結ぶ直線を引きます。

まず、直方体の面AEFBと面BFGCを展開図に描きます。点Aから辺BFに向かって垂線を下ろし、その足をEとします。同様に点Gから辺BFに向かって垂線を下ろし、その足をFとします。

すると、AE=3, EF=4, FG=5となります。

点Aから点Gへ直線を引くと、それがAP+PGが最短になるときの経路です。この直線と辺BFの交点が点Pとなります。

ここで、△AEPと△GFPは相似になります。したがって、相似比を利用してPFの長さを求めることができます。

EP=EF-PF=4-PFです。

AE:GF = EP:PFなので、

3:5 = (4-PF):PF

3*PF = 5*(4-PF)

3PF = 20 - 5PF

8PF = 20

PF = 20/8 = 5/2

3. 最終的な答え

PFの長さは、5/2 cm = 2.5 cmです。