三角形ABCの頂点をそれぞれA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)とする。辺BC, CA, ABを3:2に内分する点をそれぞれD, E, Fとする。 (1) 3点D, E, Fの位置ベクトル$\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。 (2) 三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

1. 問題の内容

三角形ABCの頂点をそれぞれA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)とする。辺BC, CA, ABを3:2に内分する点をそれぞれD, E, Fとする。

(1) 3点D, E, Fの位置ベクトル$\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

(2) 三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

2. 解き方の手順

(1)

点Dは辺BCを3:2に内分するので、

$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{3+2} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}$

点Eは辺CAを3:2に内分するので、

$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{3+2} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5}$

点Fは辺ABを3:2に内分するので、

$\vec{f} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

(2)

三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、

$\vec{g} = \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3}$

これに(1)の結果を代入すると、

$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5} + \frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5} + \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5} \right)$

$\vec{g} = \frac{1}{15} (2\vec{b} + 3\vec{c} + 3\vec{a} + 2\vec{c} + 2\vec{a} + 3\vec{b})$

$\vec{g} = \frac{1}{15} (5\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c})$

$\vec{g} = \frac{5(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{15}$

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}$

$\vec{e} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{c}}{5}$

$\vec{f} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

(2)

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$