規則的に並んだ白と黒の正方形タイルで構成された図形について、以下の問いに答えます。 (1) 8番目の図形の黒いタイルの枚数を求めます。 (2) n番目の図形の白いタイルの枚数をnの式で表します。

代数学数列パターン二次式式の展開
2025/3/31

1. 問題の内容

規則的に並んだ白と黒の正方形タイルで構成された図形について、以下の問いに答えます。
(1) 8番目の図形の黒いタイルの枚数を求めます。
(2) n番目の図形の白いタイルの枚数をnの式で表します。

2. 解き方の手順

(1) 黒いタイルの枚数の規則性を見つけます。
1番目の図形: 1枚
2番目の図形: 4枚
3番目の図形: 9枚
4番目の図形: 16枚
黒いタイルの枚数は、nn番目の図形に対して n2n^2 枚になっていると推測できます。
したがって、8番目の図形の黒いタイルの枚数は、828^2 で求められます。
(2) 全体のタイルの枚数の規則性を見つけます。
1番目の図形: 9枚
2番目の図形: 25枚
3番目の図形: 49枚
4番目の図形: 81枚
全体のタイルの枚数は、nn番目の図形に対して (2n+1)2(2n+1)^2 枚になっていると推測できます。
白いタイルの枚数は、全体のタイルの枚数から黒いタイルの枚数を引いたものです。
したがって、nn番目の図形の白いタイルの枚数は、(2n+1)2n2(2n+1)^2 - n^2 で求められます。
(2n+1)2n2=4n2+4n+1n2=3n2+4n+1(2n+1)^2 - n^2 = 4n^2 + 4n + 1 - n^2 = 3n^2 + 4n + 1

3. 最終的な答え

(1) 64枚
(2) 3n2+4n+13n^2+4n+1

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