問題は二つあります。 I. $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = 1$ を示すこと。 II. 三重積分 $\iiint_D \frac{dxdydz}{1+(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ を計算すること。ただし、$D = \{(x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 4\}$ です。 (1) $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$ とするとき、被積分関数 $F(r, \theta, \phi)$ を求める。 (2) ヤコビアン $J = r^2\sin\theta$ として、$D' = \{(r, \theta, \phi) \mid 0 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \phi \leq 2\pi\}$ のとき、$\iiint_{D'} F(r, \theta, \phi) r^2\sin\theta drd\theta d\phi$ を計算する。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

I. $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = 1$ を示すこと。

II. 三重積分 $\iiint_D \frac{dxdydz}{1+(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ を計算すること。ただし、$D = \{(x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 4\}$ です。

(1) $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$ とするとき、被積分関数 $F(r, \theta, \phi)$ を求める。

(2) ヤコビアン $J = r^2\sin\theta$ として、$D' = \{(r, \theta, \phi) \mid 0 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \phi \leq 2\pi\}$ のとき、$\iiint_{D'} F(r, \theta, \phi) r^2\sin\theta drd\theta d\phi$ を計算する。

2. 解き方の手順

I. この積分はガウス積分として知られており、確率論で正規分布の積分が1になることを示しています。この問題では証明は省略します。

II.

(1) 与えられた変換 $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$ を元の積分に代入します。

$x^2 + y^2 + z^2 = (r\sin\theta\cos\phi)^2 + (r\sin\theta\sin\phi)^2 + (r\cos\theta)^2 = r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r^2\sin^2\theta\sin^2\phi + r^2\cos^2\theta = r^2\sin^2\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + r^2\cos^2\theta = r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = r^2$.

したがって、$1 + (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2} = 1 + (r^2)^{3/2} = 1 + r^3$.

よって、$F(r, \theta, \phi) = \frac{1}{1+r^3}$.

(2) 三重積分を計算します。

$\iiint_{D'} F(r, \theta, \phi) r^2\sin\theta drd\theta d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 \frac{1}{1+r^3} r^2\sin\theta dr d\theta d\phi = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^2 \frac{r^2}{1+r^3} dr$.

$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$.

$\int_0^{\pi} \sin\theta d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

$\int_0^2 \frac{r^2}{1+r^3} dr$ において、$u = 1 + r^3$ とおくと、$du = 3r^2 dr$ より、$r^2 dr = \frac{1}{3} du$.

積分範囲は、$r=0$ のとき $u=1$, $r=2$ のとき $u=1+2^3 = 9$.

$\int_0^2 \frac{r^2}{1+r^3} dr = \int_1^9 \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} [\ln u]_1^9 = \frac{1}{3} (\ln 9 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 9 = \frac{1}{3} \ln 3^2 = \frac{2}{3} \ln 3$.

したがって、$\iiint_{D'} F(r, \theta, \phi) r^2\sin\theta drd\theta d\phi = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} \ln 3 = \frac{8\pi}{3} \ln 3$.

3. 最終的な答え

I. (証明省略)

II. (1) $F(r, \theta, \phi) = \frac{1}{1+r^3}$

(2) $\frac{8\pi}{3} \ln 3$