正の実数 $t$ に対して、$S(t) = \int_{t}^{t+1} \log x dx$ とする。ただし、対数は自然対数を表すものとする。 (1) $t>1$ の場合の $S(t)$ の値を求めよ。 (2) $\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{\log t}$ を求めよ。 (3) $0 < t \le 1$ の場合の $S(t)$ の値を求めよ。 (4) $S(t)$ はある正の実数 $c$ で最小値をとる。$c$ を求めよ。

1. 問題の内容

正の実数 $t$ に対して、$S(t) = \int_{t}^{t+1} \log x dx$ とする。ただし、対数は自然対数を表すものとする。

(1) $t>1$ の場合の $S(t)$ の値を求めよ。

(2) $\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{\log t}$ を求めよ。

(3) $0 < t \le 1$ の場合の $S(t)$ の値を求めよ。

(4) $S(t)$ はある正の実数 $c$ で最小値をとる。$c$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S(t) = \int_{t}^{t+1} \log x dx$ を計算する。部分積分を用いる。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

したがって、

$S(t) = [x \log x - x]_{t}^{t+1} = (t+1) \log (t+1) - (t+1) - (t \log t - t) = (t+1) \log (t+1) - t \log t - 1$

$t>1$ の場合、$S(t) = (t+1) \log (t+1) - t \log t - 1$

(2) $\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{\log t}$ を求める。

$S(t) = (t+1) \log (t+1) - t \log t - 1 = t (\log (t+1) - \log t) + \log (t+1) - 1 = t \log (\frac{t+1}{t}) + \log (t+1) - 1 = t \log (1+\frac{1}{t}) + \log (t+1) - 1$

$\lim_{t \to \infty} t \log (1+\frac{1}{t}) = \lim_{t \to \infty} \frac{\log (1+\frac{1}{t})}{\frac{1}{t}} = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1$

$\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{\log t} = \lim_{t \to \infty} \frac{t \log (1+\frac{1}{t}) + \log (t+1) - 1}{\log t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 + \log (t+1) - 1}{\log t} = \lim_{t \to \infty} \frac{\log (t+1)}{\log t} = \lim_{t \to \infty} \frac{\log t + \log (1+\frac{1}{t})}{\log t} = \lim_{t \to \infty} (1 + \frac{\log (1+\frac{1}{t})}{\log t}) = 1 + 0 = 1$

(3) $0 < t \le 1$ の場合、$S(t) = (t+1) \log (t+1) - t \log t - 1$

(4) $S(t) = (t+1) \log (t+1) - t \log t - 1$ の最小値を求める。

$S'(t) = \log (t+1) + (t+1) \cdot \frac{1}{t+1} - \log t - t \cdot \frac{1}{t} = \log (t+1) + 1 - \log t - 1 = \log (t+1) - \log t = \log (\frac{t+1}{t})$

$S'(t) = 0$ のとき、$\frac{t+1}{t} = 1$。これは解を持たない。

しかし、$S'(t) > 0$ なので、$S(t)$ は単調増加である。したがって、$t>0$ で$S(t)$ は最小値を持たない。

$t > 0$ の範囲で考える。$S'(t) = \log(1 + \frac{1}{t})$

$S'(t)=0$ は $t$ が存在しないので、$S(t)$ は単調増加関数である。

したがって、最小値は定義域の最小値 $t=0$ でとるはずだが、$t=0$ は定義域に含まれない。しかし、$t\to 0$ であれば、

$\lim_{t \to 0} S(t) = \lim_{t \to 0} (t+1) \log (t+1) - t \log t - 1 = (0+1) \log (0+1) - 0 - 1 = 0 - 0 - 1 = -1$ となるが、問題文では「ある正の実数 c で最小値をとる」とあるので、間違っている。

$S'(t) = \log(\frac{t+1}{t}) = \log(1 + \frac{1}{t})$. $S'(t)=0$ は $1 + \frac{1}{t} = 1$、すなわち $\frac{1}{t}=0$ であり、$t=\infty$ であろう。

$S(t)$ は下に凸な関数ではないので、最小値は $S'(t)=0$ のときではない。

$t$ が定義されている範囲の最小値を与える $c$ を求めると、$S'(t) = 0$ を満たす $t$ がない場合、$t$ が正の実数と定義されているので、$t \to 0$ に近づくほど $S(t)$ は小さくなる。この場合は、 $c = 0$ になるが、正の実数という条件に反する。

微分が0になる正の実数 $t$ が存在しないため、問題文に矛盾がある。

3. 最終的な答え

(1) $(t+1) \log (t+1) - t \log t - 1$

(2) 1

(3) $(t+1) \log (t+1) - t \log t - 1$

(4) 問題文に矛盾があるため、$c$ は存在しない。