以下の4つの不定積分を計算します。 (1) $\int x\sqrt{x^2-1} \, dx$ (2) $\int (e^{2x}+e^{-x})^4 (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx$ (3) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$ (4) $\int \frac{1}{x \log x} \, dx$

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を計算します。

(1) $\int x\sqrt{x^2-1} \, dx$

(2) $\int (e^{2x}+e^{-x})^4 (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx$

(3) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$

(4) $\int \frac{1}{x \log x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $u = x^2-1$ と置換します。すると $du = 2x \, dx$ となり、$x \, dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int x\sqrt{x^2-1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du$$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (x^2-1)^{\frac{3}{2}} + C$$

(2) $u = e^{2x}+e^{-x}$ と置換します。すると $du = (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx$ となります。

$$\int (e^{2x}+e^{-x})^4 (2e^{2x}-e^{-x}) \, dx = \int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{(e^{2x}+e^{-x})^5}{5} + C$$

(3) $u = \sin x$ と置換します。すると $du = \cos x \, dx$ となります。

$$\int \sin^3 x \cos x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$$

(4) $u = \log x$ と置換します。すると $du = \frac{1}{x} \, dx$ となります。

$$\int \frac{1}{x \log x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} (x^2-1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\frac{(e^{2x}+e^{-x})^5}{5} + C$

(3) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$

(4) $\log |\log x| + C$