$a>0$ であるとき、積分 $I = \int_0^2 |x(x-a)| dx$ の値を、以下の2つの場合に分けて求める。 (1) $0 < a < 2$ のとき (2) $2 \le a$ のとき

1. 問題の内容

$a>0$ であるとき、積分 $I = \int_0^2 |x(x-a)| dx$ の値を、以下の2つの場合に分けて求める。

(1) $0 < a < 2$ のとき

(2) $2 \le a$ のとき

2. 解き方の手順

(1) $0 < a < 2$ のとき

$x(x-a)$ の符号は、

- $0 \le x < a$ のとき、$x(x-a) \le 0$

- $a < x \le 2$ のとき、$x(x-a) > 0$

したがって、

$I = \int_0^2 |x(x-a)| dx = \int_0^a -x(x-a) dx + \int_a^2 x(x-a) dx$

$I = \int_0^a (-x^2 + ax) dx + \int_a^2 (x^2 - ax) dx$

$I = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}ax^2]_0^a + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2]_a^2$

$I = (-\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3) + (\frac{8}{3} - 2a) - (\frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3)$

$I = \frac{1}{6}a^3 + \frac{8}{3} - 2a - \frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3$

$I = (\frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2})a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

$I = \frac{1-2+3}{6}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

$I = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

(2) $2 \le a$ のとき

$0 \le x \le 2$ において、$x-a \le 0$ であるから、$x(x-a) \le 0$。

したがって、

$I = \int_0^2 |x(x-a)| dx = \int_0^2 -x(x-a) dx$

$I = \int_0^2 (-x^2 + ax) dx$

$I = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}ax^2]_0^2$

$I = -\frac{8}{3} + 2a$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < 2$ のとき

$I = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

(2) $2 \le a$ のとき

$I = 2a - \frac{8}{3}$