与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

1. 問題の内容

与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ について

まず、$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくため、極限が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要があります。したがって、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1 + a(x - 1)}{x - 1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1) + a(x - 1)}{x - 1} = 3$

$\lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 3$

$1 + 1 + a = 3$

$2 + a = 3$

$a = 1$

$b = -a - 1$ より、

$b = -1 - 1 = -2$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$ について

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x)}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + (4+a)x + b - x^2}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1} = 5$

$\frac{4+a}{1+1} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

ここで、$b$ は極限に関係ないため、任意の値を取ることができます。便宜上$b=0$とします。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = -2$

(2) $a = 6, b = 0$（$b$は任意の値をとる。）