(1) $f(\theta) = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 2\sin\theta$ および $g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta - 1$ について、穴埋め問題を解く。 (2) $0 < \theta < \pi$ において、等式 $f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおき、穴埋め問題を解く。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、等式 $f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値は2つある。1つは $\alpha$ なので、もう一つの解を $\beta$ とおく。このとき、座標平面において、$X, Y$ の交点を考えることで $\tan \frac{\alpha+\beta}{2}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $f(\theta) = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 2\sin\theta$ および $g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta - 1$ について、穴埋め問題を解く。

(2) $0 < \theta < \pi$ において、等式 $f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$X = \cos\alpha$, $Y = \sin\alpha$ とおき、穴埋め問題を解く。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、等式 $f(\theta) = g(\theta)$ を満たす $\theta$ の値は2つある。1つは $\alpha$ なので、もう一つの解を $\beta$ とおく。このとき、座標平面において、$X, Y$ の交点を考えることで $\tan \frac{\alpha+\beta}{2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(\frac{\pi}{6})$ を計算する。

$f(\theta) = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 2\sin\theta = 1 + \cos\theta - 2\sin\theta$

$f(\frac{\pi}{6}) = 1 + \cos\frac{\pi}{6} - 2\sin\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、アの解答群は $1+\cos\theta$、ウは $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$g(\theta) = \sin\theta - \cos\theta - 1$ について、$g(\theta) = 0$ となる $\theta$ の値の和を求める。

$0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin\theta - \cos\theta = 1$

$\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

$\theta$ の値の和は $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$

よって、エは $\frac{3\pi}{2}$。

(2) $f(\theta) = g(\theta)$ より、

$1 + \cos\theta - 2\sin\theta = \sin\theta - \cos\theta - 1$

$2\cos\theta - 3\sin\theta + 2 = 0$

$2X - 3Y + 2 = 0$

$Y = \frac{2}{3}X + \frac{2}{3}$

よって、カは $\frac{2}{3}$。

$X^2 + Y^2 = 1$ が成り立つので、キは $1$。

$Y>0$ より、$\sin\alpha = \frac{2}{3} \cos\alpha + \frac{2}{3} > 0$。

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$Y = \frac{2}{3}X + \frac{2}{3}$ より、$2\cos\alpha - 3\sin\alpha + 2 = 0$。

$\cos\alpha = \frac{3\sin\alpha - 2}{2}$

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ に代入して、

$(\frac{3\sin\alpha - 2}{2})^2 + \sin^2\alpha = 1$

$\frac{9\sin^2\alpha - 12\sin\alpha + 4}{4} + \sin^2\alpha = 1$

$9\sin^2\alpha - 12\sin\alpha + 4 + 4\sin^2\alpha = 4$

$13\sin^2\alpha - 12\sin\alpha = 0$

$\sin\alpha(13\sin\alpha - 12) = 0$

$\sin\alpha = 0$ または $\sin\alpha = \frac{12}{13}$

$0 < \alpha < \pi$ より $\sin\alpha > 0$ なので、$\sin\alpha = \frac{12}{13}$。

$Y = \frac{12}{13}$。

$\cos\alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \pm \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \pm \sqrt{\frac{169-144}{169}} = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$

$Y = \frac{2}{3}X + \frac{2}{3}$ より、$Y > 0$。

$\cos\alpha = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin\alpha = \frac{2}{3} (\frac{5}{13}) + \frac{2}{3} = \frac{10+26}{39} = \frac{36}{39} = \frac{12}{13}$。

$\cos\alpha = -\frac{5}{13}$ のとき、$\sin\alpha = \frac{2}{3}(-\frac{5}{13}) + \frac{2}{3} = \frac{-10+26}{39} = \frac{16}{39}$。

よって$\sin\alpha = \frac{12}{13}$。

$\tan\alpha = \frac{Y}{X} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{2(12/5)}{1-(12/5)^2} = \frac{24/5}{1 - 144/25} = \frac{24/5}{-119/25} = \frac{24}{5} \times \frac{25}{-119} = \frac{24 \times 5}{-119} = \frac{-120}{119} \approx -1$

最も近い値は、-1。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\tan\frac{\alpha + \beta}{2}$ を求める。

3. 最終的な答え

ア: ② $1+\cos\theta$

ウ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

エ: $\frac{3\pi}{2}$

カ: $\frac{2}{3}$

キ: $1$

ク: $\frac{12}{13}$

コサ: 5/13

シス: 4

セ: -1

ソ: 1