(1) 関数 $f(x) = 2x^2 - x + 1$ を定義に従って微分する問題です。空欄 [1], [2], [3], [4] を埋める必要があります。 (2) 関数 $f(x) = \begin{cases} 3x+2 & (x \ge 1) \\ x+4 & (x < 1) \end{cases}$ が $x=1$ において連続であるか、また微分可能であるかを調べる問題です。空欄 [5], [6], [7], [8], [9], [10] を埋める必要があります。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = 2x^2 - x + 1$ を定義に従って微分する問題です。空欄 [1], [2], [3], [4] を埋める必要があります。

(2) 関数

$f(x) = \begin{cases}

3x+2 & (x \ge 1) \\

x+4 & (x < 1)

\end{cases}$

が $x=1$ において連続であるか、また微分可能であるかを調べる問題です。空欄 [5], [6], [7], [8], [9], [10] を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 微分の定義に従って計算を進めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)^2 - (x+h) + 1 - (2x^2 - x + 1)}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{2(x^2 + 2xh + h^2) - x - h + 1 - 2x^2 + x - 1}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{2x^2 + 4xh + 2h^2 - x - h + 1 - 2x^2 + x - 1}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2 - h}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{h(4x + 2h - 1)}{h}$

$=\lim_{h \to 0} (4x + 2h - 1)$

$= 4x - 1$

したがって、

[1] には $4x + 2h - 1$ が入ります。

[2] には $4x + 2h - 1$ から、h が0 に近づく極限を取るので、 $4x-1$が入ります。

[3] には $4$ が入ります。

[4] には $1$ が入ります。

(2) $x=1$ における連続性を調べます。

$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} (3x+2) = 3(1) + 2 = 5$

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} (x+4) = 1 + 4 = 5$

$f(1) = 3(1) + 2 = 5$

したがって、

[5] には $5$ が入ります。

[6] には $5$ が入ります。

また、$x=1$ で連続です。選択肢がないので「連続」である、と記述します。

[7] には　「連続」が入ります。

$x=1$ における微分可能性を調べます。

右側極限

$\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{3(1+h)+2 - 5}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{3 + 3h + 2 - 5}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{3h}{h} = 3$

左側極限

$\lim_{h \to -0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{(1+h)+4 - 5}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{1 + h + 4 - 5}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{h}{h} = 1$

したがって、

[8] には $3$ が入ります。

[9] には $1$ が入ります。

右側極限と左側極限が異なるので、$x=1$ で微分可能ではありません。選択肢がないので「微分不可能」である、と記述します。

[10] には　「微分不可能」が入ります。

3. 最終的な答え

(1)

[1] $4x + 2h - 1$

[2] $4x-1$

[3] $4$

[4] $1$

(2)

[5] $5$

[6] $5$

[7] 連続

[8] $3$

[9] $1$

[10] 微分不可能