ある物体の温度 $T$ と周囲の温度 $T_0$ の関係が、微分方程式 $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ で与えられる。ここで、$k$ は定数である。$100^\circ\text{C}$ で沸騰したお湯を $20^\circ\text{C}$ の大気中に置いたとき、以下の問いに答える。 (1) 微分方程式を解き、$T$ を $t$ の関数で表す。 (2) $100^\circ\text{C}$ のお湯は 1 分後に $60^\circ\text{C}$ になった。このときの $k$ の値を求める。 (3) 4 分後のお湯の温度を求める。

1. 問題の内容

ある物体の温度 $T$ と周囲の温度 $T_0$ の関係が、微分方程式 $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ で与えられる。ここで、$k$ は定数である。$100^\circ\text{C}$ で沸騰したお湯を $20^\circ\text{C}$ の大気中に置いたとき、以下の問いに答える。

(1) 微分方程式を解き、$T$ を $t$ の関数で表す。

(2) $100^\circ\text{C}$ のお湯は 1 分後に $60^\circ\text{C}$ になった。このときの $k$ の値を求める。

(3) 4 分後のお湯の温度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式 $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ を解く。

変数分離を行うと、$\frac{dT}{T - T_0} = -k dt$

両辺を積分すると、$\int \frac{dT}{T - T_0} = \int -k dt$

$\ln|T - T_0| = -kt + C_1$ （$C_1$ は積分定数）

$|T - T_0| = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt}$

$T - T_0 = Ce^{-kt}$ （$C = \pm e^{C_1}$ は任意定数）

$T(t) = T_0 + Ce^{-kt}$

$T_0 = 20$ なので、$T(t) = 20 + Ce^{-kt}$

初期条件 $T(0) = 100$ を代入すると、$100 = 20 + Ce^0 = 20 + C$ より $C = 80$

したがって、$T(t) = 20 + 80e^{-kt}$

(2) $T(1) = 60$ を代入して $k$ を求める。

$60 = 20 + 80e^{-k}$

$40 = 80e^{-k}$

$e^{-k} = \frac{1}{2}$

$-k = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$

$k = \ln 2$

(3) $k = \ln 2$ を $T(t) = 20 + 80e^{-kt}$ に代入し、$t = 4$ のときの $T(4)$ を求める。

$T(4) = 20 + 80e^{-4\ln 2} = 20 + 80e^{\ln(2^{-4})} = 20 + 80 \cdot 2^{-4} = 20 + 80 \cdot \frac{1}{16} = 20 + 5 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $T(t) = 20 + 80e^{-kt}$

(2) $k = \ln 2$

(3) $25^\circ\text{C}$