関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の確認

対数関数 $\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ である必要があります。したがって、$f(x)$ の定義域は $x > 0$ です。

(2) 導関数の計算

$f(x)$ を微分します。積の微分法を用いて、

$$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$$

さらに、$f'(x)$ を微分して第2次導関数を求めます。

$$f''(x) = (2 \log x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2 \log x + 1 + 2 = 2 \log x + 3$$

(3) 増減の調査

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。定義域が $x > 0$ であることに注意すると、

$x(2 \log x + 1) = 0$ より、 $2 \log x + 1 = 0$、つまり $\log x = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、$x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ です。

$x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき $f'(x) < 0$ となり、$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき $f'(x) > 0$ となります。

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値を持ち、極大値は存在しません。

極小値は $f(\frac{1}{\sqrt{e}}) = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$ です。

(4) 凹凸の調査

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 \log x + 3 = 0$ より、 $\log x = -\frac{3}{2}$ となります。

したがって、$x = e^{-3/2} = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ です。

$x < \frac{1}{e\sqrt{e}}$ のとき $f''(x) < 0$ となり、$x > \frac{1}{e\sqrt{e}}$ のとき $f''(x) > 0$ となります。

したがって、$x = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で変曲点を持ちます。

変曲点の $y$ 座標は $f(\frac{1}{e\sqrt{e}}) = (\frac{1}{e\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{e\sqrt{e}}) = \frac{1}{e^3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2e^3}$ です。

(5) グラフの概形

$x \to +0$ のとき、$x^2 \to 0$ であり、$\log x \to -\infty$ です。ここで $\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$ となることが知られています。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ です。

3. 最終的な答え

* 定義域: $x > 0$

* 極小値: $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で $f(x) = -\frac{1}{2e}$

* 極大値: なし

* 変曲点: $x = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で $f(x) = -\frac{3}{2e^3}$

* 増減: $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ で減少、$\frac{1}{\sqrt{e}} < x$ で増加

* 凹凸: $0 < x < \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で上に凸、$\frac{1}{e\sqrt{e}} < x$ で下に凸

* $\lim_{x \to +0} f(x) = 0$

* $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

(グラフは省略)