与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + (n-1)^2} \right)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + (n-1)^2} \right)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の和を $S_n$ とおきます。

$S_n = \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + (n-1)^2}$

各項の分母から $n^2$ を括り出すと、

$S_n = \frac{n}{n^2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2} + \frac{1}{1 + \left(\frac{2}{n}\right)^2} + \cdots + \frac{1}{1 + \left(\frac{n-1}{n}\right)^2} \right)$

$S_n = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{1 + \left(\frac{0}{n}\right)^2} + \frac{1}{1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2} + \frac{1}{1 + \left(\frac{2}{n}\right)^2} + \cdots + \frac{1}{1 + \left(\frac{n-1}{n}\right)^2} \right)$

この式は、区分求積法を用いて定積分に変換できます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$

$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となり、積分の範囲は $0$ から $1$ までになります。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx$

$\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C$ であるので、

$\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx = [\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$