以下の関数の微分を求めます。 (2) $y = (x+4)(2x^2-1)$ (3) $y = \frac{x^2-4x+2}{x+1}$ (4) $y = \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3}$ (5) $y = (x^2+2x-3)^3$ (6) $y = \sqrt{2x^2+6x-5}$ (7) $x = y^4 + 1$ (ただし、$y \neq 0$) (8) $y = \cos(2x-1)$ (9) $y = \frac{1}{\tan(2x)}$ (10) $y = \frac{\sin x}{1-\cos x}$ (11) $y = \log(x^2+1)$ (12) $y = e^{x^2+2}$

はい、承知いたしました。与えられた問題の微分を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の関数の微分を求めます。

(2) $y = (x+4)(2x^2-1)$

(3) $y = \frac{x^2-4x+2}{x+1}$

(4) $y = \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3}$

(5) $y = (x^2+2x-3)^3$

(6) $y = \sqrt{2x^2+6x-5}$

(7) $x = y^4 + 1$ (ただし、$y \neq 0$)

(8) $y = \cos(2x-1)$

(9) $y = \frac{1}{\tan(2x)}$

(10) $y = \frac{\sin x}{1-\cos x}$

(11) $y = \log(x^2+1)$

(12) $y = e^{x^2+2}$

2. 解き方の手順

(2) 積の微分法を使います。

$y' = (1)(2x^2-1) + (x+4)(4x) = 2x^2 - 1 + 4x^2 + 16x = 6x^2 + 16x - 1$

よって、$y' = 6x^2 + 16x - 1$

(3) 商の微分法を使います。

$y' = \frac{(2x-4)(x+1) - (x^2-4x+2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2-2x-4 - x^2+4x-2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-6}{(x+1)^2}$

よって、$y' = \frac{x^2+2x-6}{(x+1)^2}$

(4) $y = 3x^{-2} - x^{-3}$ と書き換えて微分します。

$y' = -6x^{-3} + 3x^{-4} = -\frac{6}{x^3} + \frac{3}{x^4}$

よって、$y' = -\frac{6}{x^3} + \frac{3}{x^4}$

(5) 合成関数の微分法を使います。

$y' = 3(x^2+2x-3)^2(2x+2) = 6(x^2+2x-3)^2(x+1)$

よって、$y' = 6(x^2+2x-3)^2(x+1)$

(6) 合成関数の微分法を使います。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2+6x-5}}(4x+6) = \frac{2x+3}{\sqrt{2x^2+6x-5}}$

よって、$y' = \frac{2x+3}{\sqrt{2x^2+6x-5}}$

(7) 陰関数の微分法を使います。

$1 = 4y^3\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y^3}$

よって、$y' = \frac{1}{4y^3}$

(8) 合成関数の微分法を使います。

$y' = -\sin(2x-1) \cdot 2 = -2\sin(2x-1)$

よって、$y' = -2\sin(2x-1)$

(9) $y = \frac{1}{\tan(2x)} = \cot(2x)$ と書き換えて微分します。

$y' = -\csc^2(2x) \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$

よって、$y' = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$

(10) 商の微分法を使います。

$y' = \frac{(\cos x)(1-\cos x) - (\sin x)(\sin x)}{(1-\cos x)^2} = \frac{\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(1-\cos x)^2} = \frac{\cos x - 1}{(1-\cos x)^2} = \frac{-1}{1-\cos x}$

よって、$y' = \frac{-1}{1-\cos x}$

(11) 合成関数の微分法を使います。

$y' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

よって、$y' = \frac{2x}{x^2+1}$

(12) 合成関数の微分法を使います。

$y' = e^{x^2+2} \cdot 2x = 2xe^{x^2+2}$

よって、$y' = 2xe^{x^2+2}$

3. 最終的な答え

(2) $y' = 6x^2 + 16x - 1$

(3) $y' = \frac{x^2+2x-6}{(x+1)^2}$

(4) $y' = -\frac{6}{x^3} + \frac{3}{x^4}$

(5) $y' = 6(x^2+2x-3)^2(x+1)$

(6) $y' = \frac{2x+3}{\sqrt{2x^2+6x-5}}$

(7) $y' = \frac{1}{4y^3}$

(8) $y' = -2\sin(2x-1)$

(9) $y' = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$

(10) $y' = \frac{-1}{1-\cos x}$

(11) $y' = \frac{2x}{x^2+1}$

(12) $y' = 2xe^{x^2+2}$