2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ で、区間 $\frac{\pi}{3} \le x \le \pi$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ で、区間 $\frac{\pi}{3} \le x \le \pi$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{3} \le x \le \pi$ において、$\sin x$ と $\sin 2x$ の大小関係を調べる。$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ なので、$y = \sin 2x$と$y = \sin x$の交点を求める。

$\sin x = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$

$\sin x (1 - 2 \cos x) = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = \frac{1}{2}$。

$\frac{\pi}{3} \le x \le \pi$ の範囲では、$\sin x = 0$となるのは$x = \pi$。$\cos x = \frac{1}{2}$となるのは$x = \frac{\pi}{3}$。

区間 $\frac{\pi}{3} < x < \pi$ で $\sin x > 0$。

$\frac{\pi}{3} < x < \pi$ で、$2\cos x < 1$ となるのは $x > \frac{\pi}{3}$ より、$1 - 2 \cos x > 0$ である。

したがって $\sin x > \sin 2x$ となる。

よって、$V = \pi \int_{\pi/3}^{\pi} (\sin^2 x - \sin^2 2x) dx$

$V = \pi \int_{\pi/3}^{\pi} (\sin^2 x - \sin^2 2x) dx = \pi \int_{\pi/3}^{\pi} \left(\frac{1 - \cos 2x}{2} - \frac{1 - \cos 4x}{2}\right)dx$

$= \frac{\pi}{2} \int_{\pi/3}^{\pi} (\cos 4x - \cos 2x) dx = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{4} \sin 4x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\pi/3}^{\pi}$

$= \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{1}{4} \sin 4\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi \right) - \left( \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3} \right) \right]$

$= \frac{\pi}{2} \left[ (0 - 0) - \left( \frac{1}{4} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) \right] = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{8} \right]$

$= \frac{3\sqrt{3}\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{3}\pi}{16}$