次の極限値を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \cdots + \frac{n}{n^2+(n-1)^2})$

1. 問題の内容

次の極限値を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \cdots + \frac{n}{n^2+(n-1)^2})$

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、リーマン和の考え方を利用します。

与えられた式を変形して、リーマン和の形に近づけます。

まず、与えられた和を$\sum$記号を用いて表します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+k^2}$

次に、分母分子を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2+k^2}{n^2}}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\frac{1}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2}$

これはリーマン和の形になっているため、積分に変換できます。

ここで、$x = \frac{k}{n}$とおくと、$dx = \frac{1}{n}$となります。

積分範囲は、$k=0$のとき$x=0$、$k=n-1$のとき$x=\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}$なので、$n \to \infty$のとき、$x=1$となります。

したがって、積分の式は次のようになります。

$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$

$\arctan(x)$を微分すると$\frac{1}{1+x^2}$となるので、上記の積分は$\arctan(x)$となります。

$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$