円の中心Oを持つ円に内接する四角形ABCDが与えられています。∠OBD = 80°、∠ODA = 40°のとき、∠BAD（α）と∠ABC（β）の角度を求める問題です。

1. 問題の内容

円の中心Oを持つ円に内接する四角形ABCDが与えられています。∠OBD = 80°、∠ODA = 40°のとき、∠BAD（α）と∠ABC（β）の角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、∠BODの中心角は∠BADの円周角の2倍なので、

$∠BOD = 2∠BAD = 2α$

同様に、∠BODは、∠BCDの円周角の2倍。

$∠BOD = 2∠BCD$

次に、∠BODは、∠OBDと∠ODBを用いて表すことができます。

∠OBD = 80°、∠ODB = 40°であるので、

$∠BOD = 180° - 80° - 40° = 60°$

したがって、$2α = 60°$となるので、$α = 30°$です。

次に、四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°になります。

よって、$∠BAD + ∠BCD = 180°$

$30° + ∠BCD = 180°$

$∠BCD = 150°$

また、$∠ABC + ∠ADC = 180°$

ここで、$∠ADC = ∠ADO + ∠ODC = 40° + ∠ODC$

さらに、∠BOCの中心角は∠BACの円周角の2倍なので、

$∠BOC = 2∠BAC$

また、$∠BOC = 360 - ∠BOD - ∠AOD$

$∠AOD = 2∠ACD = 180-2∠ADO - 2∠ODC = 2(β-∠ABO) = 2(β-10)$

∠OBD = 80°なので、∠ABO + ∠OBD = β,

∠ABO + 80° = β

∠ABO = β - 80°

$∠BOD = 2α = 60°$

$∠BOD = 360-2∠AOD$

$∠BOD + ∠BAC = 180°$

円に内接する四角形の対角の和は180°より、

∠ABC+∠ADC=180°

β + 40° + ∠ODC = 180°

$∠ABC + ∠ADC = 180°$であるので、

$β + α = 180°$

∠AOD=2* ∠ACD

円周角の定理より、∠BAD = ∠BOD/2 =60/2=30°であるから、α=30°

円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、β=180°-40°=140°

∠ABC+∠ADC=180°

β+∠ADO+∠ODC = 180°

β +40 + ∠ODC = 180°

3. 最終的な答え

α = 30°

β = 140°