$\arccos(\sin 7)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\arccos(\sin 7)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\arccos(x)$ の定義域は $-1 \leq x \leq 1$ です。

$\sin 7$ は実数であり、$\sin x$ の値域は $-1 \leq \sin x \leq 1$ なので、$\sin 7$ は定義域に入っています。

$7$ はラジアンで表された角度です。まず、$7$ がどの象限にあるかを確認します。

$\pi \approx 3.14$ なので、

$2\pi \approx 6.28$

$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$

つまり、$7$ は第4象限にあります。

ここで、$7 = 2\pi + (7 - 2\pi)$ であり、 $0 < 7 - 2\pi < \pi/2$　です。したがって、$7-2\pi$は第1象限の角度です。

$\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ の関係を利用します。

$\arccos(\sin 7) = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 7))$

$\arccos(\cos(x)) = x$ が成り立つのは $0 \leq x \leq \pi$ のときです。

$\frac{\pi}{2} - 7 \approx 1.57 - 7 = -5.43$ となり、この範囲に入っていません。

$\frac{\pi}{2} - 7$ をこの範囲に入るように調整する必要があります。

$\cos(x) = \cos(-x)$ の関係を利用して

$\arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 7)) = \arccos(\cos(7 - \frac{\pi}{2}))$

$7 - \frac{\pi}{2} \approx 7 - 1.57 = 5.43$ となり、まだ範囲に入っていません。

$\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ なので、 $\pi \approx 3.14 < 7 - \frac{\pi}{2} < 2\pi \approx 6.28$ です。

したがって $7 - \frac{\pi}{2} > \pi$ です。

$\cos(x) = \cos(2\pi - x)$ を利用して、

$\arccos(\sin 7) = \arccos(\cos(2\pi - (7 - \frac{\pi}{2}))) = \arccos(\cos(\frac{5\pi}{2} - 7))$

$\frac{5\pi}{2} - 7 \approx 7.85 - 7 = 0.85$ となり、$0 \leq \frac{5\pi}{2} - 7 \leq \pi$ を満たします。

したがって、

$\arccos(\sin 7) = \frac{5\pi}{2} - 7$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{2} - 7$