$z = x^2y + 2xy^2$, $x = t^3 + 3$, $y = t^3 + t$ のとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$z = x^2y + 2xy^2$, $x = t^3 + 3$, $y = t^3 + t$ のとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分を用いて $\frac{dz}{dt}$ を $x$, $y$, $t$ の関数として表します。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

次に、$\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$, $\frac{dx}{dt}$, $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 2y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 4xy$

$\frac{dx}{dt} = 3t^2$

$\frac{dy}{dt} = 3t^2 + 1$

したがって、

$\frac{dz}{dt} = (2xy + 2y^2)(3t^2) + (x^2 + 4xy)(3t^2 + 1)$

$t=1$ のとき、$x = 1^3 + 3 = 4$、$y = 1^3 + 1 = 2$ となります。

これらの値を代入して $\frac{dz}{dt}$ を計算します。

$\frac{dz}{dt}|_{t=1} = (2(4)(2) + 2(2)^2)(3(1)^2) + ((4)^2 + 4(4)(2))(3(1)^2 + 1)$

$= (16 + 8)(3) + (16 + 32)(4)$

$= (24)(3) + (48)(4)$

$= 72 + 192$

$= 264$

3. 最終的な答え

264