方程式 $x e^x = a$ の実数解がただ1個であるときの定数 $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x e^x = a$ の実数解がただ1個であるときの定数 $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x e^x$ を考える。この関数のグラフを描き、$y = a$ との交点の数が1個となるような $a$ の範囲を求める。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = (x e^x)' = e^x + x e^x = (1 + x) e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1$ のときである。

$x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$ であり、$x > -1$ のとき、$f'(x) > 0$ であるから、$x = -1$ で $f(x)$ は極小値をとる。

極小値は、$f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$ である。

$\lim_{x \to \infty} x e^x = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$

したがって、$f(x)$ のグラフは、$x = -1$ で極小値 $-\frac{1}{e}$ をとり、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散し、$x \to -\infty$ で 0 に近づく。

実数解がただ1つであるためには、$y=a$ のグラフと$f(x)$のグラフが1点で交わればよい。

これは、$a = -\frac{1}{e}$ または $a > 0$ のときである。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{e}, a > 0$