$\int \cos^4(x) \sin(x) dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。与えられた画像の中からいくつかの積分問題を解きます。

**(8) $\int \cos^4(x) \sin(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int \cos^4(x) \sin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = \cos(x)$ とすると、$du = -\sin(x) dx$ となります。

したがって、

$\int \cos^4(x) \sin(x) dx = \int u^4 (-du) = -\int u^4 du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5(x)}{5} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{\cos^5(x)}{5} + C$

**(9) $\int \sin^4(x) \cos^3(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int \sin^4(x) \cos^3(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos^3(x)$ を $\cos^2(x) \cos(x)$ と分解し、$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ を使います。

$\int \sin^4(x) \cos^3(x) dx = \int \sin^4(x) (1 - \sin^2(x)) \cos(x) dx$

$u = \sin(x)$ と置換すると、$du = \cos(x) dx$ となります。

$\int u^4 (1 - u^2) du = \int (u^4 - u^6) du = \frac{u^5}{5} - \frac{u^7}{7} + C = \frac{\sin^5(x)}{5} - \frac{\sin^7(x)}{7} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\sin^5(x)}{5} - \frac{\sin^7(x)}{7} + C$

**(10) $\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = x^2 + 1$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2}du$ となります。

$\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

**(11) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{1-x^2}} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{1-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = 1 - x^2$ とすると、$du = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} (1 - x^2)^{\frac{2}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4} (1 - x^2)^{\frac{2}{3}} + C$

**(12) $\int \sin^{-1}(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int \arcsin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = \arcsin(x)$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v = x$ となります。

$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。$w = 1 - x^2$ とすると、$dw = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} dw$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{w}} (-\frac{1}{2}) dw = -\frac{1}{2} \int w^{-\frac{1}{2}} dw = -\frac{1}{2} \cdot \frac{w^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -w^{\frac{1}{2}} = -\sqrt{1-x^2}$

したがって、

$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) - (-\sqrt{1-x^2}) + C = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$

**(14) $\int x \arcsin(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int x \arcsin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = \arcsin(x)$、$dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \arcsin(x) dx = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \int \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} dx$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。$x = \sin(\theta)$ とすると、$dx = \cos(\theta) d\theta$ となります。

$\int \frac{\sin^2(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = \int \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int \sin^2(\theta) d\theta = \int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} + C = \frac{\theta}{2} - \frac{2\sin(\theta)\cos(\theta)}{4} + C = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{2} + C = \frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$

したがって、

$\int x \arcsin(x) dx = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \frac{1}{2} (\frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}) + C = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \frac{\arcsin(x)}{4} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C = (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}) \arcsin(x) + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C$

3. 最終的な答え

$(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}) \arcsin(x) + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + C$

**(15) $\int x \arctan(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int x \arctan(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = \arctan(x)$、$dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$、$v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \arctan(x) dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx$

$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x - \arctan(x) + C$

したがって、

$\int x \arctan(x) dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} (x - \arctan(x)) + C = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{\arctan(x)}{2} + C = \frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2+1}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + C$

**(16) $\int (x^2 - 5x + 2) \sin(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int (x^2 - 5x + 2) \sin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を繰り返し行います。

$\int (x^2 - 5x + 2) \sin(x) dx = -(x^2 - 5x + 2) \cos(x) + \int (2x - 5) \cos(x) dx$

$= -(x^2 - 5x + 2) \cos(x) + (2x - 5) \sin(x) - \int 2 \sin(x) dx$

$= -(x^2 - 5x + 2) \cos(x) + (2x - 5) \sin(x) + 2 \cos(x) + C$

$= -(x^2 - 5x) \cos(x) + (2x - 5) \sin(x) + C$

3. 最終的な答え

$-(x^2 - 5x) \cos(x) + (2x - 5) \sin(x) + C$

**(17) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)} dx$**

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = \sin(x)$ とすると、$du = \cos(x) dx$ となります。

$x = 0$ のとき、$u = \sin(0) = 0$、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^2} du = [\arctan(u)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$

**(18) $\int_{1}^{2} x^3 \log(x) dx$**

1. 問題の内容

$\int_{1}^{2} x^3 \log(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = \log(x)$、$dv = x^3 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = \frac{x^4}{4}$ となります。

$\int_{1}^{2} x^3 \log(x) dx = [\frac{x^4}{4} \log(x)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{x^4}{4} \log(x)]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{1}^{2} x^3 dx = [\frac{x^4}{4} \log(x)]_{1}^{2} - \frac{1}{4} [\frac{x^4}{4}]_{1}^{2} = (\frac{2^4}{4} \log(2) - \frac{1^4}{4} \log(1)) - \frac{1}{16} (2^4 - 1^4) = (4 \log(2) - 0) - \frac{1}{16} (16 - 1) = 4 \log(2) - \frac{15}{16}$

3. 最終的な答え

$4 \log(2) - \frac{15}{16}$