曲線 $y = \frac{1}{x}$ について、以下の3つの問題に答えます。 (1) $y'$ を求めよ。 (2) 曲線上の点 $(3, \frac{1}{3})$ における接線の方程式を求めよ。 (3) この曲線の接線で点 $P(3, -1)$ を通るものの方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$ について、以下の3つの問題に答えます。

(1) $y'$ を求めよ。

(2) 曲線上の点 $(3, \frac{1}{3})$ における接線の方程式を求めよ。

(3) この曲線の接線で点 $P(3, -1)$ を通るものの方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ であるから、$y'$ は

$y' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

となる。

(2) 点 $(3, \frac{1}{3})$ における接線の傾きは $y'|_{x=3} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$ である。

よって、接線の方程式は

$y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3}$

(3) 接点の座標を $(t, \frac{1}{t})$ とする。この点における接線の傾きは $y'|_{x=t} = -\frac{1}{t^2}$ である。

よって、接線の方程式は

$y - \frac{1}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - t)$

この接線が点 $(3, -1)$ を通るので、

$-1 - \frac{1}{t} = -\frac{1}{t^2}(3 - t)$

$-1 - \frac{1}{t} = -\frac{3}{t^2} + \frac{1}{t}$

両辺に $t^2$ をかけると、

$-t^2 - t = -3 + t$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

$(t + 3)(t - 1) = 0$

$t = -3, 1$

$t = -3$ のとき、接点は $(-3, -\frac{1}{3})$ であり、傾きは $-\frac{1}{(-3)^2} = -\frac{1}{9}$ である。

よって、接線の方程式は

$y - (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9}(x - (-3))$

$y + \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}x - \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

$t = 1$ のとき、接点は $(1, 1)$ であり、傾きは $-\frac{1}{1^2} = -1$ である。

よって、接線の方程式は

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{1}{x^2}$

(2) $y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3}$

(3) $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$、 $y = -x + 2$