与えられた2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ について：

$\sinh x$ の定義は $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$ となります。

ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$

となります。

別の方法としては、$\sinh x$ のマクローリン展開を利用できます。

$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

したがって、

$\frac{\sinh x}{x} = 1 + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + \cdots$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sinh x}{x} \to 1$ となります。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$ について：

$\tanh x$ の定義は $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x \cosh x}$ となります。

$\cosh x$ の定義は $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ です。したがって、$\lim_{x \to 0} \cosh x = 1$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x \cosh x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cosh x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

となります。

別の方法としては、$\tanh x$ のマクローリン展開を利用できます。

$\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \cdots$

したがって、

$\frac{\tanh x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} - \cdots$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\tanh x}{x} \to 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1$