定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、三角関数による置換積分を行います。

$x = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta \, d\theta$ となります。

また、積分範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき $\sin\theta = 0$ より、$\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき $\sin\theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cdot \cos\theta \, d\theta$$

$\sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$ より、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta$$

となります。

$\cos^2\theta$ は半角の公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を用いて変形できます。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos(2\theta)) \, d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right]$$

$$= \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$