三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBの中点をD、辺ABを1:2に内分する点をEとする。線分BCと線分DEの交点をPとする。 (1)ベクトルOPをベクトルOA、OBで表す。 (2)線分OPの延長と辺ABとの交点をQとするとき、ベクトルOQをベクトルOA、OBで表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBの中点をD、辺ABを1:2に内分する点をEとする。線分BCと線分DEの交点をPとする。

(1)ベクトルOPをベクトルOA、OBで表す。

(2)線分OPの延長と辺ABとの交点をQとするとき、ベクトルOQをベクトルOA、OBで表す。

2. 解き方の手順

(1)ベクトルOPを求める。

Pは線分BC上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OC}$

と表せる。$\vec{OC} = \frac{2}{5}\vec{OA}$であるから

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + \frac{2s}{5}\vec{OA}$

Pは線分DE上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OD} + t\vec{OE}$

と表せる。$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OB}$, $\vec{OE} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$であるから

$\vec{OP} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{OB} + t\frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (\frac{1-t}{2} + \frac{t}{3})\vec{OB} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (\frac{3-t}{6})\vec{OB}$

$\vec{OA}, \vec{OB}$は一次独立であるから

$\frac{2s}{5} = \frac{2t}{3}$

$1-s = \frac{3-t}{6}$

これを解くと、$s = \frac{5}{8}, t = \frac{3}{4}$

よって、

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{8})\vec{OB} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} \vec{OA} = \frac{1}{4} \vec{OA} + \frac{3}{8} \vec{OB}$

(2)ベクトルOQを求める。

Qは線分OPの延長線上にあるので、実数kを用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = \frac{k}{4}\vec{OA} + \frac{3k}{8}\vec{OB}$

と表せる。

また、Qは線分AB上にあるので、実数lを用いて

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$

と表せる。

$\vec{OA}, \vec{OB}$は一次独立であるから

$\frac{k}{4} = 1-l$

$\frac{3k}{8} = l$

これを解くと、$k = \frac{8}{5}, l = \frac{3}{5}$

よって、

$\vec{OQ} = \frac{8}{5} (\frac{1}{4} \vec{OA} + \frac{3}{8} \vec{OB}) = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{3}{8}\vec{OB}$

(2) $\vec{OQ} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$