三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBの中点をD、辺ABを1:2に内分する点をEとする。線分BCと線分DEの交点をPとする。 (1)ベクトルOPをベクトルOA, OBで表せ。 (2)線分OPの延長と辺ABとの交点をQとするとき、ベクトルOQをベクトルOA, OBで表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBの中点をD、辺ABを1:2に内分する点をEとする。線分BCと線分DEの交点をPとする。

(1)ベクトルOPをベクトルOA, OBで表せ。

(2)線分OPの延長と辺ABとの交点をQとするとき、ベクトルOQをベクトルOA, OBで表せ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルOPをベクトルOA, OBで表す。

点Pは線分BC上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OC}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\frac{2}{5}\vec{OA}$

$\vec{OP} = \frac{2s}{5}\vec{OA} + (1-s)\vec{OB}$ (1)

点Pは線分DE上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OD} + t\vec{OE}$

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$

$\vec{OP} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{OB} + t\frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (\frac{1-t}{2} + \frac{t}{3})\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (\frac{3-3t+2t}{6})\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (\frac{3-t}{6})\vec{OB}$ (2)

(1)と(2)の係数を比較して、

$\frac{2s}{5} = \frac{2t}{3}$

$1-s = \frac{3-t}{6}$

$s = \frac{5t}{3}$

$1 - \frac{5t}{3} = \frac{3-t}{6}$

$6 - 10t = 3 - t$

$3 = 9t$

$t = \frac{1}{3}$

$s = \frac{5}{9}$

$\vec{OP} = \frac{2(\frac{5}{9})}{5}\vec{OA} + (1-\frac{5}{9})\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OB}$

(2) ベクトルOQをベクトルOA, OBで表す。

点Qは線分AB上にあるので、実数 $k$ を用いて、

$\vec{OQ} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB}$ (3)

また、点Qは線分OPの延長線上にあるので、実数 $l$ を用いて、

$\vec{OQ} = l\vec{OP}$

$\vec{OQ} = l(\frac{2}{9}\vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OB})$

$\vec{OQ} = \frac{2l}{9}\vec{OA} + \frac{4l}{9}\vec{OB}$ (4)

(3)と(4)の係数を比較して、

$1-k = \frac{2l}{9}$

$k = \frac{4l}{9}$

$1 - \frac{4l}{9} = \frac{2l}{9}$

$1 = \frac{6l}{9}$

$l = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$k = \frac{4}{9} * \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$

$\vec{OQ} = (1-\frac{2}{3})\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{OA} + \frac{4}{9}\vec{OB}$

(2) $\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$