初項が1、公比が2の等比数列の初項から少なくとも第何項までの和をとると1000を超えるか。

1. 問題の内容

初項が1、公比が2の等比数列の初項から少なくとも第何項までの和をとると1000を超えるか。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を確認します。初項を $a$ 、公比を $r$ 、項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は次のように表されます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

今回の問題では、$a = 1$、$r = 2$ なので、

$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

この和が1000を超えるような $n$ を求めます。つまり、$2^n - 1 > 1000$ を満たす最小の整数 $n$ を探します。

$2^n - 1 > 1000$

$2^n > 1001$

両辺の対数をとると、

$n \log 2 > \log 1001$

$n > \frac{\log 1001}{\log 2}$

$n > \frac{3.000434}{0.301030} \approx 9.967$

$n$ は整数なので、 $n \ge 10$ となります。

または、$2^n$ の値をいくつか計算し、1001を超える最小の $n$ を探すこともできます。

$2^9 = 512$

$2^{10} = 1024$

したがって、$n=10$ で $2^n$ は1001を超えます。

3. 最終的な答え

第10項