$z = x^3 + y^3$ であり、$x = \cos t$、$y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を定理10を用いて求める。

1. 問題の内容

$z = x^3 + y^3$ であり、$x = \cos t$、$y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を定理10を用いて求める。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ と $y$ の関数として、$x$ と $y$ を $t$ の関数として与えられているので、連鎖律（chain rule）を用いる。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

次に、それぞれの偏微分と微分を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2$

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

これらの結果を連鎖律の式に代入する。

$\frac{dz}{dt} = (3x^2)(-\sin t) + (3y^2)(\cos t)$

最後に、$x = \cos t$、$y = \sin t$ を代入して、$\frac{dz}{dt}$ を $t$ の関数として表す。

$\frac{dz}{dt} = 3(\cos^2 t)(-\sin t) + 3(\sin^2 t)(\cos t)$

$\frac{dz}{dt} = -3\cos^2 t \sin t + 3\sin^2 t \cos t$

$\frac{dz}{dt} = 3\cos t \sin t (\sin t - \cos t)$

3. 最終的な答え

$\frac{dz}{dt} = 3\cos t \sin t (\sin t - \cos t)$