次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

この式に 2 を掛けると、

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S - 2S$ を計算すると、

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

等比数列の和の公式 $a + ar + ar^2 + ... + ar^{n-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$ を用いると、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = 2\frac{1-2^{n-1}}{1-2} = 2(2^{n-1}-1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = 3 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n$

$-S = (3 - 2n) 2^n - 3$

$S = (2n - 3) 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$